マンガでよめる痔のこと・薬のこと

y=-x^4+2x^2(X≧0)とx軸で囲まれた部分をy軸の周りに一回転しててきる回転体の体積を求めよ。

やり方を詳しく教えて下さい。よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

この問題を解くにあたってはy=f(x)=-x^4+2x^2のグラフが正確に書けることが必要。



y'=-4x^3+4x=-4x(x+1)(x-1), f(±1)=1
y=0となるのはx=0、±√2
x≧0、y≧0、の範囲では、
x=0においてy=0,曲線はx軸に接しxの増加とともにyは増加し、x=1においてyは極大で最大となり、最大値1.x=1を過ぎるとyは減少し、x=√2においてy=0となり、その後も単調減少する。
増減表を書いて上記の挙動を示すこと。

求める回転体の体積Iは今はやりのバウムクーヘン積分によって求める。

I=∫(x:0→√2)2πxydx=∫(x:0→√2)2πx(-x^4+2x^2)dx
=2π∫(x:0→√2)(-x^5+2x^3)dx=2π[-x^6/6++2x^4/4](x:0→√2)
=2π[-x^6/6++2x^4/4](x:0→√2)=4π/3

バウムクーヘン積分はネットで調べること。
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