http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8571563.html

このページで二つの独立した確率密度関数の
足し算と掛け算の確率密度関数に関してご回答いただいたのですが

x + y の確率密度関数が二等辺三角形

x × y の確率密度関数が-ln(t)

になるのはどういう計算を行っているのでしょうか?

検索しても調べてみたのですが
解説ページが見つかりませんでした。
解説ページなどあれば教えてください。

質問者からの補足コメント

  • 分かりやすい方法と簡単な方法を教えていただけないでしょうか?

    よろしくお願いいたします。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/02 20:37

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (4件)

かのご質問ではコタエばかりが求められており、かつ、あんまり適切な回答がないようなので、結果だけをカキコしたのでしたが、こりゃ、セキニンとらんといかんですかね。



 正規分布を日常的に使っているくせに、意味がよく分かってない人がちょいちょいいます。「平均0、分散1の正規分布に従う確率変数pがp=0となる確率P(0)は?」と尋ねてみると分かってるかどうかがテストできます。P(0)=0と正しく答えられるかどうか。
 もし、あれれ? となる場合には[1]から、そんなの分かってると仰るのなら[2]からどうぞ。

[1] 「確率変数xが確率密度関数φ(x)に従う」とは、Δaがうんと小さい正の実数のとき、mΔa≦x<(m+1)Δa(すなわちx∈[mΔa,(m+1)Δa))となる確率をP(x∈[mΔa,(m+1)Δa))と書くと
  lim[Δa→0] P(x∈[mΔa,(m+1)Δa))= φ(mΔa)Δa
だってことです。特にxが一様分布φ1(x)に従うのであれば、
  lim[Δa→0] P(x∈[mΔa,(m+1)Δa))= φ1(mΔa)Δa
である。
 さて、x∈[mΔa,(m+1)Δa)であるとします。このとき、z=x+yの分布はどうなるか。ただしyがφ1(y)に従い、しかもyはxとは独立である。簡単ですね。y=z-aなのだから、もちろんzは φ1(z-mΔa)に従う。
 言い換えれば、x∈[mΔa,(m+1)Δa)であって、Δbがうんと小さい正の実数のとき、nΔb≦z<(n+1)Δbとなる条件付き確率は
  P(z∈[nΔb,(n+1)Δb) | x∈[mΔa,(m+1)Δa)) = φ1(nΔb-mΔa)Δb
です。だからz∈[nΔb,(n+1)Δb)となる確率は
  P(z∈[nΔb,(n+1)Δb)) = lim [Δa→0] Σ{n=-∞〜∞} P(z∈[nΔb,(n+1)Δb) | x∈[mΔa,(m+1)Δa)) P(x∈[nΔa,(n+1)Δa))
   = lim [Δa→0] Σ{n=-∞〜∞} φ1(nΔb-mΔa)Δb φ1(nΔa)Δa
   = ∫{a=-∞〜∞} φ1(nΔb-a)Δbφ1(a) da
と書ける。zが従う確率密度関数をφa(z)とすると、
  lim[Δb→0] P(z∈[nΔb,(n+1)Δb)) = φa(nΔb)Δb
なので、
  lim[Δb→0] (φa(nΔb) - P(z∈[nΔb,(n+1)Δb))/Δb )= 0
つまり
  φa(b) - ∫{a=-∞〜∞} φ1(b-a)φ1(a) da
ここでbをz, aをxに書き換えてみると
  φa(z) = ∫{x=-∞〜∞} φ1(z-x)φ1(x) dx
となります。

[2] 一般に、
   (f*g)(z) = ∫{x=-∞〜∞} f(z-x)g(x) dx
を 「fとgの畳み込み(convolution)」と呼びます。
 なお、(f*g) = (g*f) が成り立つことは容易に証明できます。畳み込みは信号処理・画像処理における「フィルター」、制御工学における「伝達関数」の作用を表すのにも使われる、とても重要な概念です。
 これを使って、

定理:「確率密度関数f(x)に従うxと、xとは独立で確率密度関数g(y)に従うyについて、z=x+yは確率密度関数(f*g)(z)に従う」
 (これは、上記[1]の計算をfとgを使ってやり直してみれば証明できるでしょ。)

[3] では、確率密度関数f(x)に従うxと、xとは独立で確率密度関数g(y)に従うyについて、t=xyはどんな確率密度関数に従うか。
 t=xyの両辺の対数をとって
  ln(t) = ln(x) + ln(y)
とし、ln(t), ln(x), ln(y)をそれぞれ T, X, Yという確率密度関数だと考えれば、「確率密度関数f(X)に従うXと、Xとは独立で確率密度関数g(Y)に従うYについて、T=X+Yは確率密度関数(f*g)(T)に従う」わけです。
 xがφ1(x)に従うとき、X = ln(x)がどんな確率密度関数fに従うか。これは簡単でしょうからご自分で。Tが従う確率密度関数は(f*f)(T)です。あとは t = exp(T) がどんな確率密度関数に従うか、という問題を解けば、おしまいです。

 「分かりやすい」をお求めですけど、すらすら行かない場合でも、少なくとも2〜3日ぐらいは粘ってみて下さいな。七転八倒することが地力を付けること。こんなの慣れちまえば鎧袖一触です。
    • good
    • 0

足し算に対して, どうして畳み込みをすればいいか理解できていますか?



理解できているなら, 掛け算についても「同様のこと」 (not 「同じこと」) をすればできるとわかるはず.
    • good
    • 0

単純に, 分布関数を求めて微分するだけです.

    • good
    • 0
この回答へのお礼

足し算の方はたたみ込み積分を使えば良いことが分かったのですが
掛け算の方はどうやれば良いですか?

お礼日時:2015/09/03 16:03

やり方はいろいろある. 回り道をしていいなら分布関数を経由するのが分かりやすいかもしれん.

この回答への補足あり
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

Qhttp://oshiete.goo.ne.jp/qa/1412311

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1412311.html
この問題なのですが、arcsin(1/3)などは関数電卓を使って解くのでしょうか?

Aベストアンサー

引用の問題は
a=Arcsin(1/3),b=Arcsin(7/9)
とおけば加法定理と単位円を利用して
x=cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=((√8)/3)((√32)/9-(1/3)(7/9)
=(16-7)/27=1/3
と解く問題です。

「arcsin(1/3)」そのものを求める必要のない問題ですね。
敢えて
arcsin(1/3)などを関数電卓で計算すれば
近似計算になり誤差が入ってきますので
本来の正しい答え「1/3」が得られなくなります。

Qベルヌーイ分布における独立な確率変数とは?

統計学の問題についてです。

【問題】
次式の確率関数f(x)をもつベルヌーイ分布に従う、
互いに独立なn個の確率変数Xi(i=1,2,…,n)がある。
以下の問に答えよ。
  f(x)={p(x=1),1-p(x=0)}ただし0≦p≦1
確率変数Xiの期待値と分散を求めよ。

問題を解こうとしたのですが、確率変数Xiがよくわかっていません。
ベルヌーイ分布はB(1,p)で、取りうる確率変数は0か1の2つであるのに
「互いに独立なn個の確率変数Xi(i=1,2,…,n)」について考えるというのは
どういう意味なのでしょうか?
概念的なものが全然理解できていませんので、その辺りも踏まえて
回答をしていただけたらと思っています。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

Xiの期待値と分散はiと関係なく求まります。

E(Xi) = 1*p + 0*(1-p) = p
E(Xi^2) = (1^2)*p + (0^2)*(1-p) = p
V(Xi) = E(Xi^2) - [E(Xi)]^2 = p - p^2 = p(1-p)

互いに独立なn個のXiを考えているのは、次の問題で確率変数Yn = ΣXiの分布関数やら期待値やら分散やらを計算する予定であるからだと思います。

Q数学の問題です。 問題5.の続きです http://oshiete.goo.ne.jp/qa/981

数学の問題です。
問題5.の続きです
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/9816490.html

解答⑥〜⑧をご教示願います!

Aベストアンサー

6)5x10^(-5)
7) 同上
8) 5x10^(-4)・10^3=5x10^(-1)= 0.5 または、1/2

neary=5x10^(-4)ー2x10^(-7)

ではなくて、neary=5x10^(-4)ー(1/2)x10^(-7)

Q確率変数とは

確率変数P{X=x}のXとxの違いがよく分かりません。というか確率変数の概念自体がよく分かりません。またなぜP{X=x}=P(x)なのかもわかりません。助けてください。

Aベストアンサー

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。そこで、現象と数の対応を確率変数とします。この場合、確率変数Aを、
サイコロを振ってaが出たら、A=1
サイコロを振ってbが出たら、A=2
サイコロを振ってcが出たら、A=3
サイコロを振ってdが出たら、A=4
サイコロを振ってeが出たら、A=5
サイコロを振ってfが出たら、A=6
となる変数であると決めてしまいます。これで、現象->数への変換が出来ました。確率変数は、このように、本来数学では扱えない「現象の集合」を、数の集合に変換するのに使うのです。
P{A=t}のtは、正確に書くと、t∈実数です。つまり、実数を適当に一つ持ってきたのが、tです。
P{A=t}=f(t)は、現象の集合を確率変数Aで数に置き換えてやった時の値がtである確率が、f(t)という値と同じだよ。という意味です。

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。...続きを読む

Q質問http://oshiete1.goo.ne.jp/qa57161

質問http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5716120.htmlの質問文後半部分の説明をお願いします。

-----引用-----
x=2-√3i を x~2+px+q=0 に代入し、
2p+q+1=0 と p+4=0 の連立方程式
-----引用終-----

x=2-√3i を x~2+px+q=0 に代入しても 
1-4√3i + (2-√3i)p + q =0 となるだけであり、
2p+q+1=0 と p+4=0 という二つの式が出てくる理由がわかりません。
 
おしえてください。
 ・・・ここで追記・・・
1-4√3i + (2-√3i)p + q =0 この式(あ)の両辺を二乗するともしかして
2p+q+1=0 と p+4=0 という二つの式が出てくるのでしょうか。

いちおう(あ)の式を二乗する計算を手書きでやってみましたが、途中でくじけました。
画像添付しますが、合っているかどうかも教えてください。

Aベストアンサー

1-4√3i + (2-√3i)p + q =0 
が成り立つためにはこれを実数部と虚数部に分けてa+biと変形したときにa=b=0である必要があります。

Q独立な確率変数A、Bについて、その分散がそれぞれ1のとき、確率変数A-

独立な確率変数A、Bについて、その分散がそれぞれ1のとき、確率変数A-Bの標準偏差はどうなるのでしょうか。

Aベストアンサー

ご補足ありがとうございます。
a,b:定数, X,Y:確率変数とします。
V[X]=E[X^2]-{E(X)}^2 はご存知ですね。
V[aX]=E[(aX)^2] ? { E(aX) }^2
= a^2 E[X^2]-a^2{E(X)}^2
=a^2*V(X)

X,Y:独立より
V(X-Y)=V[X+(-1)Y]
=V[X]+V[(-1)Y]
=V[X]+(-1)^2*V[Y]
=V[X]+V[Y]

Qhttp://okwave.jp/qa/q5965948.html で

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5965948.html でした質問の回答に関する質問です
(私があまりに多くの質問をしてしまったので閉じることにしました)。

次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、
という問題で答えは
|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。

…これをANo.2さんが

x=rcosθ, y=rsinθ ( 0≦r≦b )
の置換で、
V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr

さらに、a^2-r^2=t とおけば、

V=8∫[0,π/2]dθ∫[a^2,a^2-b^2]t^(1/2)(-1/2)dt ... [1]
=4∫[0,π/2]dθ∫[a^2-b^2,a^2]t^(1/2)dt     ... [2]
これを計算して、V= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3})

…と解いてくださったのですが、
積分の定義域 ∫[a^2,a^2-b^2] をどう求めたのかが分かりません。
a^2 と a^2-b^2 を求めた式を教えてください。

それと…あれ?たった今、気付いたのですが、
[1]では∫[a^2,a^2-b^2]になっているのですが、
[2]では∫[a^2-b^2,a^2]になっていますよね?
どちらが正しいのでしょうか?

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5965948.html でした質問の回答に関する質問です
(私があまりに多くの質問をしてしまったので閉じることにしました)。

次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、
という問題で答えは
|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。

…これをANo.2さんが

x=rcosθ, y=rsinθ ( 0≦r≦b )
の置換で、
V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr

さらに、a^2-r^2=t と...続きを読む

Aベストアンサー

え?
「a^2-r^2=t とおいた」んだよね? で, r の範囲は 0~b だよね?
t の範囲はどうなる?
最後の段落は, 「どっちも正しい」が正解.

Q確率変数Xnで定義されるYnはやはり確率変数でしょうか?

確率変数Xnで定義されるYnはやはり確率変数でしょうか?

お手数を掛けてすみませんが、教えてください。
以下が問題です、最後の部分で確率変数の定義が引っ掛かります。

「独立な確率変数の列{Xn}において、Xnの平均値をμ、分散をσ^2,(n=1,2,…) とした場合、
Yn = 1/n ?[k=1 n]Xk-μが恒等的に0に確率収束すると示せ」

1/n?[k=1 n]Xk の平均値、E(1/n ?[k=1 n]Xk)=μ
1/n?[k=1 n]Xk の分散が、σ^2(1/n ?[k=1 n]Xk)=σ^2/n

となりますので、1/n?[k=1 n]Xkに関するチェビシェフの不等式に代入しますと、
p(|1/n ?[k=1 n]Xk-μ|<ε)>=1-(1/ε・σ^2/n)
つまり、p(|Yn|<ε)>=1-(1/ε・σ^2/n) ※0<ε

lim[n→∞]p(|Yn|<ε)>=1-(1/ε・σ^2/n)
lim[n→∞]p(|Yn|<ε)>=1 確率の性質より
lim[n→∞]p(|Yn|<ε)=1
∴Ynは常に0以下であって、”Ynが確率変数であるならば”、恒等的に0に確率収束すると
示せるのですが…

どうなのでしょう?

確率変数Xnで定義されるYnはやはり確率変数でしょうか?

お手数を掛けてすみませんが、教えてください。
以下が問題です、最後の部分で確率変数の定義が引っ掛かります。

「独立な確率変数の列{Xn}において、Xnの平均値をμ、分散をσ^2,(n=1,2,…) とした場合、
Yn = 1/n ?[k=1 n]Xk-μが恒等的に0に確率収束すると示せ」

1/n?[k=1 n]Xk の平均値、E(1/n ?[k=1 n]Xk)=μ
1/n?[k=1 n]Xk の分散が、σ^2(1/n ?[k=1 n]Xk)=σ^2/n

となりますので、1/n?[k=1 n]Xkに関するチェビシェフの不等式に代入しますと、
p(|...続きを読む

Aベストアンサー

ちゃんと確率論やってますか?
測度論的に言えば、どの教科書にも書いてあると思いますが
可測関数の合成はまた可測であるということから明らかでしょう。
つまり確率変数(達)に四則演算を施したものはまた確率変数です。

Qhttp://mainichi.jp/life/edu/news/20

http://mainichi.jp/life/edu/news/20100320ddm090100115000c.html(毎日jp)にて三角形の内角の和の証明についての記述が御座いますが、三角形の内角を表す3つの弧(その三角形と三角形の内接円との接点に交わるもので)をそれぞれの3つの内角に対して反転させたものがその三角形の内接円と一致するという事で証明して頂く事は出来ないのでしょうか。

Aベストアンサー

#1です。

画像がなくなっちゃいましたね。w

で、先のお礼に書かれている件ですが、添付のリンク先に書かれていることは既に証明されていますよね。

そうではなくて、質問者さんが最初の質問で書いたことを証明しようとするのは無理だということ。

円は1周360°(2π)ですよね?
でも、先の図(無くなっちゃいましたが)で表すと、円を3個の部分に分けています。(接点は3個だから円弧も3個。)
これが重なることを利用して三角形の内角の和が180°を証明すると、円の1周が180°と言っているのと同じなんですが…。

一致することを利用するのではなく、内接円が作る円弧の円周角と内角の関係を利用して円の半分だから180°ということなら、証明できるかもしれませんが…。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報