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特異値分解で得られる特異値は主成分分析で得られる固有値とは違うものなんですか?

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A 回答 (1件)

主成分分析では、まず相互相関行列Cを作りますね。

Cは必然的に実対称行列で、しかも固有値が全部非負(= Cが半正定値行列)です。このCの固有値(と固有ベクトル)を(Jacobi法などを使って)計算すると、それはCの特異値分解の結果と同じ。
 しかしCに多少の調整を加えてから固有値を算出するということもあって、すると「Cに手を加えたもの」が(実対称行列ではあるが)半正定値行列ではなくなる(いくつかの固有値が負になる)ことがある。この場合、特異値分解の結果とは一致しなくなります。2変数(Cが2x2行列)の例で実際に試してみちゃどうです?
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Q固有値の値について

固有値の値を求めよ。という問に対して固有値λ=0,1
という値が出た場合は固有値は0と1でいいのでしょうか?固有値に0ってありますか?

Aベストアンサー

固有値が 0 でも問題はありません。

行列 A、縦ベクトル u に対して、
Au = λu
を満たすλを固有値、u を固有ベクトルといいます(普通、u を大きさ1のベクトルとします)。一般に I を単位行列として
|A-λI|=0
として計算します。λ=0 ということは、|A|=0であったということです。

Q主成分分析の途中。固有値の求め方で質問が。。

今、マンガでわかる統計学 因子分析編を読んでおり、

その中の主成分分析をやってます。

主成分分析を行っていく途中で、固有値を求めていたのですが、

計算途中で、
λ3乗 - 3λ2乗 + 2.7443λ - 0.78534 = 0
というところまで出ました。
これを、どうやってλについて求めればいいのでしょうか?
本では、数学的な詳しいところは省いてあり、
主成分分析の全体の流れの中で、ラグランジュの未定乗数法を使うとだけ書いてありました。
ここで、それを使うのでしょうか?
本には結果だけ書いてあり、
結果は、 固有値λは、 1.6 0.8 0.6  となるようです。

すみませんが、ここの求め方(どんな公式を使うかでもいいです)
丁寧に教えていただけませんでしょうか?
よろしくお願いします。


一応、固有値を求めたい元の行列を書いておきます

1 0.19 0.36
0.19 1 0.30
0.36 0.30 1

Aベストアンサー

>計算途中で、λ3乗 - 3λ2乗 + 2.7443λ - 0.78534 = 0 というところまで出ました
>....固有値λは、 1.6 0.8 0.6  となるようです。

たまたま、Excel の多項式 Newton 逐次解法があるので試すと、
  λ^3 - 3λ^2 + 2.7443λ - 0.78534 = (λ- 1.57221)(λ- 0.81456)(λ- 0.61323)
でした。

上記固有方程式は合ってるようですね。
(ちょいと桁落ちあり ? 「三次方程式がメイン・テーマ」というのでなけりゃ、もっと高次でも利用できる逐次解法などが実戦的)


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