線形振動とと非線形振動の違いについて

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質問者：kery21
質問日時：2001/06/15 12:55
回答数：3件

線形振動とと非線形振動の違いについて教えてください．
具体例をあげてもらえると嬉しいです．

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回答 (3件)

No.3ベストアンサー

回答者： siegmund
回答日時：2001/06/16 16:50

ばねの場合を例に取ることにして，自然長からのずれを x とします．

ばねの伸び縮みによって力のポテンシャルが生じますが，それを U(x) としましょう．
あまり伸び縮みが大きくないときは U(x) がテーラー展開できて
(1)　　U(x) = (k/2) x^2 + (A/3) x^3 + ・・・
と書けるでしょう．
x の零次の項がないのはポテンシャルの原点をそういう風に選んだから，
x の１次の項がないのは x=0 が自然長だからです．
線形のばねは(1)で k x^2 だけ考慮したものです．
力 f(x) は
(2)　　f(x) = -dU(x)/dx = -kx
で，これが tocoche さんの
力と変位（伸び縮み）の関係が比例すれば線形，
に対応します．

質量ｍの質点をばねにつけているとしますと，運動方程式は
(3)　　m (d^2 x / dt^2) + kx = 0
で，x に関して線形になっています．」
つまり，x1 と x2 が共に微分方程式(3)の解であれば
y = a x1 + b x2 も(3)の解になっています．

一方，(1)で x^3 の項まで取り入れてしまったら，(3)の代わりに
(4)　　m (d^2 x / dt^2) + kx + Ax^2= 0
になってしまい，Ax^2 の存在のために線形になりません．
つまり，x1 と x2 が共に微分方程式(3)の解であっても
x1 + x2 はもちろん解になりません．
線形でないので非線形といいます．

> 振幅の大小で線形と非線形に別れるなんて...
振幅が大きい(x が大きい)と，非線形になる理由はもう明らかですね．
x が大きければ(1)で x^2 の項だけとってすましちゃうわけにはいきませんね．

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この回答へのお礼

数式で説明されるととても分かりやすいです。
ありがとうございました。

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お礼日時：2001/06/17 01:42

No.2

回答者： tocoche
回答日時：2001/06/16 00:15

振動しているときバネに相当する部分の、力と変位（伸び縮み）の関係が比例すれば線形、比例しなければ非線形になります。

［例］
バネの場合
・振幅が小さいと線形、大きくなると（変形しにくくなって）非線形。
バネの種類による非線形変形
・超弾性合金：超弾性域では一定の力で変形が進む。
・空気バネ：断熱変化では比熱比乗根に反比例。等温変化では（熱の出入りが充分にあるなら）反比例。
・磁石バネ：反発力は距離の２乗（？磁束のひろがりかたによるか）に反比例。

振り子の場合
・振幅が小さいと線形、大きくなると非線形（カオス振り子なんて何回転もしますね）
・空気抵抗も、速度の２乗に比例するので、非線形の原因になります。

こう見ると、線形振動するほうが珍しいかも。