中一数学

中学生の子供の親です。
先日行われた数学の問題なのですが、分からないので教えてください。

細胞aは2日後に分裂して2個になり、細胞bは3日後に分裂して3個になる。最初にaが5個、bが3個あって同時に分裂を始めました。bの個数がaの個数より多くなるのは何日後か求めなさい

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2015/09/18 06:01

もし問題文がお書きの通りであるのなら、

●答案１：
> 最初にaが5個、bが3個あって同時に分裂を始め
たのなら、（「分裂を始め」たんだから、）その直後にaが10個、bが9個になる。
そして2日後にはaが20個に増え、このときbは9個のまま。
3日後にはbが27個に増え、このときaは20個のまま。
だから3日後。


●答案２：
aは2日後に分裂して10個になり、bは3日後に分裂して9個になる。4日後以降にaやbが増えるなんてことは、どこにも書いてない。
だから、いつまでたってもbの個数はaの個数より多くならない。


という答に×を付けられるだろうか。問題文がひど過ぎる。出題者には2時間ぐらいコンコンと説教したい。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/09/17 08:50

敢えて分析的に(^-^;

6n日後を基準にb/aの変化ををみると
6n+0日後 1
6n+1日後 1
6n+2日後 0.5
6n+3日後 1.5
6n+4日後 0.75
6n+5日後 0.75
6n+6日後 1.125

で6n+3日後に上のピークがあります。

つまり、6n+0日後の段階で a/b≧1.5 なら
6n+1日後～6n+6日後でa<bはありえません。

6n+0日後の段階で a/b<1.5 なら
6n+3日後に最初にa<b になります。

6n+0日後のa/b=(5/3)(8/9)^n

0日後のa/b=1.666>1.5
6日後のa/b=1.481<1.5

従って9日後にa<bになります。

6n+2日後に下のピークがありますから
6n+0日後の段階で a/b<0.5 なら
6n-3日後以降は全てa<b になります。
(5/3)(8/9)^n<0.5 となる最初のnは
11なので 63日後以降は、抜きつ抜かれつは終わり、
a<b になります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/16 19:23

No.1さんの計算に間違いがあるので、修正かたがた回答します。

（No.1さんは、12日目のａの計算以降で計算間違いをしていて、「15日後以降でbが多くなる」というのは間違いです）

この問題は、高校生以上であれば、方程式を作って「対数」を使って解くとことも可能ですが、「連続関数」ではないので、かなり難しいです。
むしろ、変な「数学的解法」など考えずに、No.1さんのように具体的な日数による個数の増加を表に書き出して求めるのが賢明です。これは、中学校だからということではなく、高校生以上でも大学生でも、最も合理的な解法でしょう。
（数学は、方程式を解くことが最善策とは限りませんから）

中学生の問題としては、「書かれた文章」から、きちんと「何日後には何個」と計算できるかどうか、ということを問うているのだと思います。
ただし、表は、下記のとおり結構手ごわいものになるので、「エクセル」で式を設定して計算させる方がよいと思います。


（日数）　　　（ａの個数）　　　（ｂの個数）※ｂの方が大きくなるものを「←」で示す
　最初　　　　　　　　５　　　　　　　　３
　１日後　　　　　　　５　　　　　　　　３
　２日後　　　　　　１０　　　　　　　　３
　３日後　　　　　　１０　　　　　　　　９
　４日後　　　　　　２０　　　　　　　　９
　５日後　　　　　　２０　　　　　　　　９
　６日後　　　　　　４０　　　　　　　２７
　７日後　　　　　　４０　　　　　　　２７
　８日後　　　　　　８０　　　　　　　２７
　９日後　　　　　　８０　　　　　　　８１　←
１０日後　　　　　１６０　　　　　　　８１
１１日後　　　　　１６０　　　　　　　８１
１２日後　　　　　３２０　　　　　　２４３
１３日後　　　　　３２０　　　　　　２４３
１４日後　　　　　６４０　　　　　　２４３
１５日後　　　　　６４０　　　　　　７２９　←
１６日後　　　　１２８０　　　　　　７２９
１７日後　　　　１２８０　　　　　　７２９
１８日後　　　　２５６０　　　　　２１８７
１９日後　　　　２５６０　　　　　２１８７
２０日後　　　　５１２０　　　　　２１８７
２１日後　　　　５１２０　　　　　６５６１　←
２２日後　　　１０２４０　　　　　６５６１
２３日後　　　１０２４０　　　　　６５６１
２４日後　　　２０４８０　　　　１９６８３
２５日後　　　２０４８０　　　　１９６８３
２６日後　　　４０９６０　　　　１９６８３
２７日後　　　４０９６０　　　　５９０４９　←
２８日後　　　８１９２０　　　　５９０４９
２９日後　　　８１９２０　　　　５９０４９
３０日後　　１６３８４０　　　１７７１４７　←
３１日後　　１６３８４０　　　１７７１４７　←
３２日後　　３２７６８０　　　１７７１４７
３３日後　　３２７６８０　　　５３１４４１　←
３４日後　　６５５３６０　　　５３１４４１
３５日後　　６５５３６０　　　５３１４４１
３６日後　１３１０７２０　　１５９４３２３　←
３７日後　１３１０７２０　　１５９４３２３　←
３８日後　２６２１４４０　　１５９４３２３
３９日後　２６２１４４０　　４７８２９６９　←
４０日後　５２４２８８０　　４７８２９６９


「2日ごとに分裂」「3日ごとに分裂」なので、「連続的に増える」のではなく「階段状に突然増える」ことを繰り返すので、
・最初に「bの個数がaの個数より多くなる」のは「9日後」
ですが、その後ａが巻き返し、抜きつ抜かれつを繰り返して
・上の表の範囲内では、まだ「bの個数がaの個数より多い状態」にはならない
・安定的に「bの個数がaの個数より多い状態」を維持するようになるのは「63日後以降」
です。

　問題の答は、おそらく「9日後」でよいと思います。

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/09/16 17:31

毎回規則的に必ず３個に分裂する、なんていう細胞は、私の知る限り存在しないです。

たまにイレギュラー的に３分裂する、ならありえなくはないですが。

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/09/16 11:08

何日かたった日数をｘとします。

細胞aはｘ／２の速さで２＾（ｘ／２）の速さで増殖していきます。
細胞ｂはｘ／３の速さで３＾（ｘ／３）の速さで増殖していきます。
最初はｘが０でaは５＊２＾（ｘ／２）
　　　　　　　ｂは３＊３＾（ｘ／３）
ここからは中学生ですので数字を当てはめていった方が早いと思います。
何日　　　a　　　　　ｂ
０　　　　５　　　　　３
２　　　１０
３　　　　　　　　　　９
４　　　２０
６　　　４０　　　　２７
８　　　８０
９　　　　　　　　　８１
１０　　１６０
１２　　　　　　　２４３
１４　　３２０
１５　　　　　　　７２９
１６　　６４０
１８　１２８０　　２１８７
よって15日目以降はｂの方が数が多くなります。