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ベクトルの大きさの最小値とその時のtの値を求める問題なのですが、ベクトルの大きさの二乗の時のtの値と最小値はわかります。
ですが、その二乗をなくした時の答えがいまいちよく分かりません。

どうして最小値はルートがつくのに、tの値はそのままなんですか?

「ベクトルの大きさの最小値」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • ベクトルpの大きさの二乗が9なのであってtの値は変わらないということですか?
    それとも二乗を外す際にルート(t-1/2)^2となってルートをのけると(t-1/2)となるということですか?
    物分りがよくなくて申し訳ないです(T T)

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/20 11:26

A 回答 (3件)

→p=→OP とおくと、点Pは、直線AB上の点になり、


│→p│=│→OP│ は、2点O,P間の距離を表すから、
│→p│≧0 (← 距離が 『 - 』 になることはない)
になります。

このことを使うと、質問にある解答になるわけですが・・・。


│→p│^2=20(t-(1/2))^2+9

この式から、 │→p│^2 の最小値は 9 です。 (いま、t=1/2 は考えないでください)

次に、
a>0、b>0 のとき
a<b ⇔ a^2<b^2 ・・・・・ ☆
であることを使って、

│→p│^2 の最小値は 9 だから、
9≦│→p│^2
が成り立ちます。つまり、
3^2≦│→p│^2
が成り立ちます。

ここで、
3>0、│→p│≧0 だから、上の ☆印 より
3≦│→p│
になります。

これから、│→p│の最小値が 3 になります。

『 = 』 は、ついても ☆ は成り立ちます。
y=x^2 のグラフの x≧0 の部分で確かめられます。


では、最小値が 3 になるときの tの値 ですが、

『 最小値が 3 になるとき 』
だから、
│→p│=3
です。
両辺を 2乗 して、
│→p│^2=9
になります。
この、
│→p│^2=9
になるときの tの値 が、まさしく、
t=1/2
です。

ということで、

『 最小値はルートがつくのに、tの値はそのまま 』

になります。
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この回答へのお礼

│→p│の最小値が3になり│→p│^2の最小値が9になる、この二つが起きるときのtの値が1/2というときですね!!!
│→p│^2=20t^-20t+14にそのまま代入して計算するものだと思っていました。
なるほど、わかりました
噛み砕いて説明してくださってありがとうございました _(- -)_

お礼日時:2015/09/20 12:35

ベクトルpの大きさの2乗が最小値を取る時には、(t-1/2)=0です。


したがって、ベクトルpの2乗の値にtは入りません。
ですから、tの平方根を取る必要はないです。
t=1/2となれば、(t-1/2)=0ですから、tの平方根を取っても意味は無いですよ。
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ベクトルpの大きさの二乗の式に入っている(t-1/2)^2で判断していますから、tの最小値は、t=1/2となります。


ベクトルpの大きさは0以上ですから、二乗が最小になれば、ベクトルpの大きさも最小となります。
ベクトルpの大きさの二乗が9ですから、ベクトルpの大きさは√9=3となります。
この回答への補足あり
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