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ベクトルの大きさの最小値とその時のtの値を求める問題なのですが、ベクトルの大きさの二乗の時のtの値と最小値はわかります。
ですが、その二乗をなくした時の答えがいまいちよく分かりません。

どうして最小値はルートがつくのに、tの値はそのままなんですか?

「ベクトルの大きさの最小値」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • ベクトルpの大きさの二乗が9なのであってtの値は変わらないということですか?
    それとも二乗を外す際にルート(t-1/2)^2となってルートをのけると(t-1/2)となるということですか?
    物分りがよくなくて申し訳ないです(T T)

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/20 11:26

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A 回答 (3件)

→p=→OP とおくと、点Pは、直線AB上の点になり、


│→p│=│→OP│ は、2点O,P間の距離を表すから、
│→p│≧0 (← 距離が 『 - 』 になることはない)
になります。

このことを使うと、質問にある解答になるわけですが・・・。


│→p│^2=20(t-(1/2))^2+9

この式から、 │→p│^2 の最小値は 9 です。 (いま、t=1/2 は考えないでください)

次に、
a>0、b>0 のとき
a<b ⇔ a^2<b^2 ・・・・・ ☆
であることを使って、

│→p│^2 の最小値は 9 だから、
9≦│→p│^2
が成り立ちます。つまり、
3^2≦│→p│^2
が成り立ちます。

ここで、
3>0、│→p│≧0 だから、上の ☆印 より
3≦│→p│
になります。

これから、│→p│の最小値が 3 になります。

『 = 』 は、ついても ☆ は成り立ちます。
y=x^2 のグラフの x≧0 の部分で確かめられます。


では、最小値が 3 になるときの tの値 ですが、

『 最小値が 3 になるとき 』
だから、
│→p│=3
です。
両辺を 2乗 して、
│→p│^2=9
になります。
この、
│→p│^2=9
になるときの tの値 が、まさしく、
t=1/2
です。

ということで、

『 最小値はルートがつくのに、tの値はそのまま 』

になります。
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この回答へのお礼

│→p│の最小値が3になり│→p│^2の最小値が9になる、この二つが起きるときのtの値が1/2というときですね!!!
│→p│^2=20t^-20t+14にそのまま代入して計算するものだと思っていました。
なるほど、わかりました
噛み砕いて説明してくださってありがとうございました _(- -)_

お礼日時:2015/09/20 12:35

ベクトルpの大きさの2乗が最小値を取る時には、(t-1/2)=0です。


したがって、ベクトルpの2乗の値にtは入りません。
ですから、tの平方根を取る必要はないです。
t=1/2となれば、(t-1/2)=0ですから、tの平方根を取っても意味は無いですよ。
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    • 2

ベクトルpの大きさの二乗の式に入っている(t-1/2)^2で判断していますから、tの最小値は、t=1/2となります。


ベクトルpの大きさは0以上ですから、二乗が最小になれば、ベクトルpの大きさも最小となります。
ベクトルpの大きさの二乗が9ですから、ベクトルpの大きさは√9=3となります。
この回答への補足あり
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数学の問題集、1対1の演習の問題ですが、よく分からないところがあるので質問させていただきました。

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Aベストアンサー

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が正解ですよね?

一般的に、
| ↑a + ↑b |^2 = ( ↑a + ↑b ) ・ ( ↑a + ↑b )
        = |↑a|^2 + |↑b|^2 + 2 ↑a ・ ↑b
| ↑a - ↑b |^2 = ( ↑a - ↑b ) ・ ( ↑a - ↑b )
        = |↑a|^2 + |↑b|^2 - 2 ↑a ・ ↑b


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Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

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参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q位置ベクトルについて

今ベクトルを勉強しているのですが、位置ベクトルの考え方がよくわかりません。
位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、
そうすると、
位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか?

位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。よろしくお願いしますm(__)m

Aベストアンサー

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

>位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点A(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、

OA=(2,3)

ですよね。
また、線分MNの中点Pの位置ベクトルは、
点M、点Nの位置ベクトルを、それぞれ
→   →
OM, ON
とすると、
→   →   →    
OP=(OM+ON)÷2

のようになりますよね。
その点Pの位置を、相対的に、原点を中心として表したときに
どうなるのだろうか?みたいな感じだと思ってください。

>位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか?

その点の位置関係を、相対的に表せる、ということで大変便利なのです。
原点Oを定めておくと、平面上の点Aの位置は、
ベクトルOAによって、定まりますよね。
このとき、→ →
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位置ベクトル→        →
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>位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。

位置ベクトルは、ベクトルの中でもかなり重要ポイントです。
考え方のポイントというか、コツは、図形の証明なんかでも
「とにかく位置ベクトルで考えてみよう!」
ということです。

たとえば、今まであたりまえのような定理として使ってきた
「三角形ABCの、底辺をBCとしたときに、
AB,ACの中点M,Nを結ぶ線分MNは、
底辺BCに平行で、長さはBCの半分である」

などという定理も、位置ベクトルを用いれば、分かりやすく証明されます。
上の問題は、平行、かつ半分、を示せばよいので
→     →
MN=(1/2)BC
がいえればよいですね。
三角形の3点A,B,Cの位置ベクトルを、
→ → →    →  →
a, b, cとして、MN、BCを、それぞれで表してみましょう。

頑張ってください。慣れると大変便利でベクトルが得意になりますよ。
ご参考になればうれしいです。

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

>位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点A(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、

OA=(2,3)

ですよね。
また、線分MNの中点Pの位置ベクトルは、
点M、点Nの位置ベクトルを...続きを読む

Q内積の最大最小です

点Pが点A(1,2)を中心とする半径1の円周上を動くときの内積OA・OPの最大値と最小値を求めよ。という問題なのですが、最大となる点PはOAの延長線と円との交点であるとわかったのですが、最小となる点PもOAと円とのもうひとつの交点でいいのでしょうか。

Aベストアンサー

それでいいと思いますよ。
点P(x,y)として、OA・OP=x+2y x+2y=kとして、y=-x/2+k/2
あとは、グラフを使って考えればいけると思います。

Qベクトルの重心

三角形ABCの重心をGとすると、
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と書いてあるのですが、なんだかしっくりきません。
どうしてこの式が成り立つのですか?

Aベストアンサー

BCの中点をMとすると
AM↑=AB↑+BC↑/2
また
AG↑=2AM↑/3より(Gは重心なのでAMを2:1に内分しているので)
=(2/3)×(AB↑+BC↑/2)
=2AB↑/3+BC↑/3

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=2AB↑/3-AB↑/3+AC↑/3
=AB↑/3+AC↑/3

Q元素と原子の違いを教えてください

元素と原子の違いをわかりやすく教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

難しい話は、抜きにして説明します。“原子”とは、構造上の説明に使われ、例えば原子番号、性質、原子質量などを説明する際に使われます。それに対して“元素”というのは、説明した“原子”が単純で明確にどう表記出来るのか??とした時に、考えるのです。ですから、“元素”というのは、単に名前と記号なのです。もう一つ+αで説明すると、“分子”とは、“原子”が結合したもので、これには、化学的な性質を伴います。ですから、分子は、何から出来ている??と問うた時に、“原子”から出来ていると説明出来るのです。長くなりましたが、化学的or物理的な性質が絡むものを“原子”、“分子”とし、“元素”とは、単純に記号や名前で表記する際に使われます。

Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む

Q(数研出版、数ii)教科書の章末問題の解答解説がのっているサイトはありますか? 教科書は、解答しか載

(数研出版、数ii)教科書の章末問題の解答解説がのっているサイトはありますか?
教科書は、解答しか載っていないので、少し難しい問題があって困っています。

Aベストアンサー

教科書ガイドによって違います。買う予定であれば、とりあえず本屋さんに行って教科書ガイドを手に取って中を見るべきです。

Qベクトル:ΔABCの外心Oを・・・

授業の問題演習で先生が出題したのですが、先生が問題の出典を忘れてしまい、授業中にみんなで解いたのですが、誰も答えまでたどりつけませんでした。(先生もです…。)
自分でもう1回解いてみたんですが、やっぱり答えまでたどりつけません。
どうか考え方を教えてください。
------------------------
問.
三角形ABCの3辺の長さは、AB=6,BC=2√13,CA=8である。
ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルc とおくとき、内積 ベクトルb・ベクトルc の値を求めよ。
また、三角形ABCの外心Oとして、ベクトルAOをベクトルb,ベクトルcを使って表せ。
------------------------
【途中までの解】
内積は24とでました。(余弦定理から∠A=60°。内積の公式から6×8×1/2=24)

ここからがわかりません。
とりあえず外接円の半径Rを正弦定理から求め、
R=2√39/3 という値が出ました(←この値はあっていますか?)
つまり、|ベクトルAO|=|ベクトルBO|=|ベクトルCO|=R ということになりますよね?

ここからいろいろなやり方を試行錯誤しているのですが、どれも答えまではたどりつけません。
最初に思いついたのは、
   ベクトルAO=ベクトルAB+ベクトルBO
また、ベクトルAO=ベクトルAC+ベクトルCO
のようにベクトルAOをいろいろなベクトルで表現して最後に係数比較するやりかたでした・・・・。


なにか別の方法はありますか?それともこのまま工夫すれば答えまで行けるのでしょうか??
よろしくお願いします。

授業の問題演習で先生が出題したのですが、先生が問題の出典を忘れてしまい、授業中にみんなで解いたのですが、誰も答えまでたどりつけませんでした。(先生もです…。)
自分でもう1回解いてみたんですが、やっぱり答えまでたどりつけません。
どうか考え方を教えてください。
------------------------
問.
三角形ABCの3辺の長さは、AB=6,BC=2√13,CA=8である。
ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルc とおくとき、内積 ベクトルb・ベクトルc の値を求め...続きを読む

Aベストアンサー

外心をOとすると、

AO=sAB+tAC(s,tは実数)と表せる。
Oを通り直線ABと直交する直線はABの中点を通るので

{AO-(1/2)AB}⊥AB よって
[{s-(1/2)}AB+tAC]・AB=0
{s-(1/2)}|AB|^2+tAB・AC=0  AB=6 AB・AC=c・b=24
36{s-(1/2)}+24t=0
36s+24t=18
6s+4t=3

これを同様にACでもやると
{AO-(1/2)AC}⊥AC よって
{t-(1/2)}|AC|^2+sAB・AC=0  AC=8 AB・AC=c・b=24
64{t-(1/2)}+24s=0
24s+64t=32
6s+16t=8

よって12t=5 t=5/12 s=2/9
AO=(2/9)AB+(5/12)AC
 =(2/9)b+(5/12)c

たぶんこんな感じ。

参考URL:http://www.crossroad.jp/cgi-bin/form.cgi?target=http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/zukei/gaisinn.html

外心をOとすると、

AO=sAB+tAC(s,tは実数)と表せる。
Oを通り直線ABと直交する直線はABの中点を通るので

{AO-(1/2)AB}⊥AB よって
[{s-(1/2)}AB+tAC]・AB=0
{s-(1/2)}|AB|^2+tAB・AC=0  AB=6 AB・AC=c・b=24
36{s-(1/2)}+24t=0
36s+24t=18
6s+4t=3

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{t-(1/2)}|AC|^2+sAB・AC=0  AC=8 AB・AC=c・b=24
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24s+64t=32
6s+16t=8

よって12t=5 t=5/12 s=2/9
AO=(2/9)AB+(5/12)AC
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