この漸化式の解き方教えてください

漸化式 a[n+2]=a[n+1]+a[n]-1 , a[0]=1 , a[1]=2 で定義された数列｛a[n]｝の一般項を求めよ

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/22 12:17

a[n+2]=a[n+1]+a[n]-1

が、
a[n+2]+pa[n+1]+q=r{a[n+1]+pa[n]+q}
と変形できるとすると、
数列 {a[n+1]+pa[n]+q} は、
初項　a[2]+pa[1]+q,
公比　r
の、等比数列になります。

a[n+2]=a[n+1]+a[n]-1　・・・・・ （Ａ）
が、
a[n+2]+pa[n+1]+q=r{a[n+1]+pa[n]+q}
と変形できるとすると、
a[n+2]=(r-p)a[n+1]+pra[n]+q(r-1)
であるから、係数を比較して、
r-p=1　・・・・・ ①
pr=1　・・・・・ ②
q(r-1)=-1　・・・・・ ③

① より
r=p+1　・・・・・ ①’
② に代入して
p(p+1)=1
p^2+p-1=0
p=(-1±√5)/2
①’ に代入して
r=(-1±√5)/2+1=(1±√5)/2
③ に代入して
q[(1±√5)/2}-1]=-1
q{(-1±√5)/2}=-1
q=-2/(-1±√5)=-2(-1∓√5)/(-1±√5)(-1∓√5)=-2(-1∓√5)/(1-5)=-2(-1∓√5)/(-4)=(-1∓√5)/2　（複合同順）

したがって、 （Ａ） は、
a[n+2]+{(-1+√5)/2}a[n+1]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}[a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2]
と変形でき、数列 {a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2} は、
初項　a[2]+{(-1+√5)/2}a[1]+(-1-√5)/2
　　=a[1]+a[0]-1+{(-1+√5)/2}a[1]+(-1-√5)/2
　　=2+1-1+{(-1+√5)/2}×2+(-1-√5)/2
　　=2+1-1-1+√5+(-1-√5)/2
　　=(1+√5)/2
公比　(1+√5)/2
の等比数列だから、
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}{(1+√5)/2}^(n-1)
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}^n　・・・・・ （Ｂ）

また、 （Ａ） は、
a[n+2]+{(-1-√5)/2}a[n+1]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}[a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2]
と変形でき、数列 {a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2} は、
初項　a[2]+{(-1-√5)/2}a[1]+(-1+√5)/2
　　=a[1]+a[0]-1+{(-1-√5)/2}a[1]+(-1+√5)/2
　　=2+1-1+{(-1-√5)/2}×2+(-1+√5)/2
　　=2+1-1-1-√5+(-1+√5)/2
　　=(1-√5)/2
公比　(1-√5)/2
の等比数列だから、
a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}{(1-√5)/2}^(n-1)
a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}^n　・・・・・ （Ｃ）

（Ｂ）-（Ｃ） より
√5a[n]-√5={(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n
両辺を　√5　で割って、
a[n]-1=(1/√5)[{1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]
よって、
a[n]=(1/√5)[{1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]+1
となります。


したがって、 （Ａ） は、
a[n+2]+{(-1+√5)/2}a[n+1]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}[a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2]
と変形でき、数列 {a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2} は、
初項　a[2]+{(-1+√5)/2}a[1]+(-1-√5)/2
　　=a[1]+a[0]-1+{(-1+√5)/2}a[1]+(-1-√5)/2
　　=2+1-1+{(-1+√5)/2}×2+(-1-√5)/2
　　=2+1-1-1+√5+(-1-√5)/2
　　=(1+√5)/2
公比　(1+√5)/2
の等比数列だから、
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}{(1+√5)/2}^(n-1)
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}^n　・・・・・ （Ｂ）

ですが、

初項を、
a[1]+{(-1+√5)/2}a[0]+(-1-√5)/2 とすると、

a[1]+{(-1+√5)/2}a[0]+(-1-√5)/2
=2+{(-1+√5)/2}+(-1-√5)/2
=1
となり、
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}^n
と、すぐに　（Ｂ）　に式がつくれます。

同じようにして、
また、 （Ａ） は、
a[n+2]+{(-1-√5)/2}a[n+1]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}[a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2]
と変形でき、数列 {a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2} は、
初項　a[1]+{(-1-√5)/2}a[0]+(-1+√5)/2
　　=2+{(-1-√5)/2}+(-1+√5)/2
　　=1
公比　(1-√5)/2
の等比数列だから、
a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}^n　・・・・・ （Ｃ）
と、　（Ｃ）　の式がつくれます。

a[0]　まで考えているので、　項数　が　１　増えます。
だから、　《　r^(n-1)　》　ではなく、　《　r^n　》　になります。

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございます！

お礼日時：2015/09/23 01:17

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/09/22 10:36

漸化式 a[n+2]=a[n+1]＋a[n]ー1 , a[0]=1 , a[1]=2 で定義された数列｛a[n]｝の一般項

両辺に-1を足してa[n]-1 = b[n]とでも置きb[n]に関する漸化式で考え、
b[n]の一般項を求めた後、a[n]の式に戻す

計算すると(計算間違えが無ければ・・!?)
a[n] = 1＋(1/√5)・{((1+√5)/2)^n－((1-√5)/2)^n}

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2015/09/23 01:18