今、床に落ちているボールを拾って棚の一番上に置きました。
ボールの位置エネルギーは増えたはずです。
このボールの位置エネルギーは私の腕の筋肉のエネルギーが変換されたものであり
それはまた昨日食べた牛肉から変換されたものであり・・・と、
それはいいのですが、今度は逆に棚の上から床にボールを移しました。
私の腕のエネルギーも使いましたが、ボールの位置エネルギーも減少しました。
このエネルギーはどこに変換されたのでしょうか?

はじめて投稿させてもらいます。
自然科学が好きでよく本を読みますが疑問がでても
質問する相手がいなくて困っていました。
低レベルで恥ずかしいのですが・・・。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (15件中1~10件)

楽しそうなので、混ぜさせてもらいます。



せっかくだからニュートンの運動方程式を立ててしまいましょう。
空気抵抗等は無視しましょう。

重力は、垂直方向にしか効かないので、垂直方向だけに運動方程式を立てましょう。
鉛直上向きを正として座標をとり(床をx=0)、位置をx、速度をv(=dx/dt <0)、ボールの質量をm、重力加速度をg、ボールを支えている力をf(>0)、時間をtと置くと、

  m(dv/dt)= -mg + f   ・・・(*)

となりますね。(*)式をエネルギー表現するには、(*)の両辺にvをかけて、


    mv(dv/dt)= -mgv + fv

 <->  d((1/2)mv^2)/dt= -d(mgx)/dt + fv

 <->  d[(1/2)mv^2 + mgx]/dt - fv=0


そして、時間で積分するのでした。

  
   (1/2)mv^2 + mgx - ∫fvdt= <一定>

ここで、(1/2)mv^2 は運動エネルギー(Kとします)、mgxは位置エネルギー(Uとします)、∫fvdt は支えた腕のした仕事(Wとします)です。
書き直すと、

    K+U-W=<一定>

となり、時間tによらず、エネルギーが一定であることを示す、エネルギー保存則が得られます。この保存則は、(*)式が成り立つ条件下(すなわち床や棚との接触がない移動の時間)で成り立ちます。

t=0の時、これはちょうど高さhの棚の上のボールをつかんだ時(ボールは手以外に接触はないとします)になりますが、そのときはv=0なので、

  <一定>=U(x=h)=mgh

となります。
で、ボールを床(x=0)のところに持っていったとき、

       mgh=K-W   ・・・(**)

となりますね。
すなわち、始めの位置エネルギーは、運動エネルギーと腕の成した仕事(ただしfは上向き(正)でvは下向き(負)なので、Wは負となります。すなわち腕は、仕事をされた=エネルギーを与えられたことになります)に変換されます。

ですから、ボールを下ろした時に腕は位置エネルギーの一部あるいは全部を吸収する事になるのですが、そのエネルギーの吸収による腕の運動エネルギーが変化していない(なぜなら腕とボールは一緒に動いているから)ので、腕に取ってはkajuramさんがおっしゃるように負荷となります。で、その負荷はjoshua01さんの説明の通り、熱になります。
ちなみに(**)より、Kが存在する場合、腕にかかる負荷は小さいことになりますね。

この回答への補足

なるほど、hero1000さんのおっしゃる「マイナスの仕事」とか
joshua01さんのおっしゃる「エネルギーの吸収」というのは
腕がエネルギーを与えられた、という事だったんですね。
想像もしない事だったのでhero1000さんやjoshua01さんへの補足の欄に
見当違いの事を書き込んでしまいました。ごめんなさい。
エネルギーの吸収による腕の運動エネルギーが変化していない、
というのがいまいちよく解りません。
もうちょっと詳しく説明してもらえるとありがたいのですが
この欄に書き込んで再回答もらえるのかなぁ?
よろしくお願い致します。

補足日時:2001/06/15 22:58
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おおっと!!凄い盛り上がりですね~^^;


こういうのは楽しいですね(⌒▽⌒)

で、補足に対する回答は、hero1000さんが回答なさってるとおりです。
つまり、腕とボールは全く一緒に動いているはず(両者の速度が同じ)なので、ボールから受けたエネルギーが腕の運動エネルギーに変換されていない、ということです。

あと、loifさんに、ちょっとコメントを・・
エネルギー保存則は、ニュートンの運動方程式から導くことができます。
簡単なために、自由落下を想定し、やはり上向きを正とすると、

  m(dv/dt)= -mg

となり、速度vを両辺にかけて時間tで積分、あるいはそのまま変位xで積分すると(vdt=(dx/dt)dt=dxですから、結局同じことなのですが・・・)、

  (1/2)mv^2=-mgx + <積分定数>

従って、

  (1/2)mv^2+ mgx = <積分定数>

となり、運動エネルギー((1/2)mv^2)と位置エネルギー(mgx)の「和」が”時間によらず”一定、というエネルギー保存則が現れます。
loirさんのおっしゃってる「位置エネルギー=運動エネルギー」というのは、
t=0のとき、v=0、あるいはx=0という条件が成り立つときだけで、
t=0のときにvもxも値が存在してもいいのです。
ようは時間によらず、総和が一定であるということが大事なのです。

蛇足ですが、似たようなことは運動量保存の法則にも現れます。

質量mとMの2つの物体(ただし大きさはないとしておきましょう)が、互いに引力なり、なにかで相互作用をしており、”外部から他の力が加わっていない”とき(この条件大事です^^)、各物体の速度を、それぞれv、Vとし、相互作用の力をfとすると(すべてベクトル量と考えて下さい)、
この2つの物体の運動方程式は、

  mdv/dt=f   ・・・(1)
  MdV/dt=-f  ・・・(2)

(1)+(2)をすると、

 mdv/dt + MdV/dt =0

 <-> d[mv + MV]/dt=0

となり、2物体の運動量の和(mv + MV)は、”時間によらず一定”という、運動量保存の法則が現れます。

このように、運動方程式から、保存則が割と簡単に(ちょっと微積が出来ないと厳しいですが・・)導けますし、保存則が成り立たない条件も、運動方程式を見れば分かることになります。
たとえば、上の(1)と(2)式のどちらか一方に、外力が加わっていると、
(1)+(2)の和が、0にならないため、運動量が保存されません。
一方、運動している時間に運動方程式自体に変更がない限り、(どのような形であれ)その系のエネルギーは保存されることになります。
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この回答へのお礼

再回答ありがとうございます。
う~む、運動量保存則かぁ。
どうも私はエネルギー保存則と運動量保存則とよく解ってないみたいです。
やはり単なる好き、興味で雑学的に本を読んでもダメですね。
体系づけてきちっと勉強したいなぁ。
でも、単なる好きでもいろいろ読むうちにいっちょまえに疑問も持つし
知れば知るほどまた新しい事も知りたくなるし。
その程度のレベルの質問に、しかも一回答えてもらってもまだ解らずに
いたのに、こんなに多くの人達から回答、再回答をいただけて本当に
感謝しています。ありがとうございました。
次回の質問の時もこれに懲りずによろしくお願いいたします。

お礼日時:2001/06/16 22:55

失礼しました。

問題を見間違えてしまいました。
+と-を考えたらどーでしょー。
結局役に立ってねぇー。笑
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私の質問の仕方がまぎわらしい書き方だったようです。
また質問させていただくと思いますので
その時もよろしくお願いいたします。

お礼日時:2001/06/16 22:53

エネルギー保存則は私の理解では位置エネルギー=運動エネルギーと解釈しています。

この場合、空気の抵抗を無視すれば、ある高さからボールを落とせばその距離によって重力により速度がうまれます。地面に衝突するまでにかかる時間から、衝突時点の速度がでます。高さが高い程衝突までの時間は長くなるので、v=gtよりvは大きくなります。またその時の運動エネルギーは1/2×m(質量)×v(速度)×v(速度)になるのでこれが位置エネルギーと一致するのではないでしょうか?
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またまたお騒がせします。



>とすると、力学的エネルギー保存則に腕の運動エネルギーを
>考慮に入れてはいけない、という事からして、
>ボールから失われた位置エネルギーは腕に与えられ、腕の運動とは別に
>負荷として腕の筋肉にかかり、その負荷の為に筋肉が熱として発散させた、
>という解釈でいいのでしょうか?

 ryumuさんの解かれた方程式によるとそうなります。

 私、登場回数の割に役に立ってないですね・・・(汗)
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この回答へのお礼

そんなことありません。
皆さんからいただいた回答を読み進むうち
いろいろ理解できました。
ありがとうございました。
また質問させていただくと思いますので
その時もよろしくお願いいたします。

お礼日時:2001/06/16 22:52

たびたびすみません。


今度は力学的エネルギー保存則ではなく、総合的なエネルギーについてです。
・・・と思ったらryumuさんがすばらしい回答をなさってますね。
とても楽しく読ませていただきました (^^)

そしてryumuさんの回答への補足について横槍を入れさせていただくと、

>エネルギーの吸収による腕の運動エネルギーが変化していない、
>というのがいまいちよく解りません。

 つまり、腕はエネルギーを与えられているので、ボールより速く動いても
よさそうなものなのに、実際はボールと同じ速度で動いているために「腕の
運動エネルギーが変化していない」ということなのです。

 ですよね?ryumuさん。
(すっかりずるい他力本願者だ・・(汗))

 

この回答への補足

よく解りました。ありがとうございました。
とすると、力学的エネルギー保存則に腕の運動エネルギーを
考慮に入れてはいけない、という事からして、
ボールから失われた位置エネルギーは腕に与えられ、腕の運動とは別に
負荷として腕の筋肉にかかり、その負荷の為に筋肉が熱として発散させた、
という解釈でいいのでしょうか?

補足日時:2001/06/16 00:14
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No.4で回答した者です。

補足に対する回答です。
・・ていうか、とても楽しそうな話題で盛り上がってますね。(^^)
でもとりあえず回答を優先させていただきます。

>ボールが腕の力で床に下ろされた時にボールの為した仕事とはなんでしょうか?
>腕にマイナスの仕事をさせた、ということでしょうか?
>それと、エネルギー保存則に腕の筋肉エネルギーを関与させる事はできないので
>しょうか?
>太陽から来たエネルギーが植物になり、植物を食べた牛になり、牛肉を食べた
>私の腕の筋肉になり、ボールを持ち上げた、では間違いでしょうか?

 その発想はとても面白いものですからあまり枠をはめたくないのですが、
力学的エネルギー保存則はあくまでも「力学的なエネルギーについて、その場で
は保存される」ことに則っているものです。
 力学的エネルギーとは「運動エネルギー」と「位置エネルギー」です。
 運動エネルギーは「重さと速度」しか関わりません。
 位置エネルギーは重力によるものの他に、バネによるもの、磁界によるもの、
電界によるものなどがあります。
 これらしか関われないのが力学的エネルギー保存則なのです。
 
 そして力学的エネルギー保存則は、ある物体の運動について適用されます。
 ある位置エネルギーのところから、ある位置エネルギーのところに移動した
物体の速度が増えていたならば、前者と後者の位置エネルギーは前者の方が大
きいことになります。

 腕でボールを棚から床、あるいは床から棚に移した場合、ボール自身が運動
をしたわけではないので力学的エネルギー保存則は適用されません。
 外力が働いたら力学的エネルギー保存則は成立しないのです。
 この「外力」とは、摩擦の力や空気抵抗、そして誰かの行動による作用(腕で
持ち上げるなど)も含まれます。

 総合的なエネルギーの話をするのでしたら腕のエネルギーなどを考慮に入れて
もいいのですが、「力学的エネルギー」に関しては入れてはならないのです。
 腕の筋肉のエネルギーは力学的エネルギーではないからです。

 ・・・なんだか長い文のわりにわかりにくくてすみません。
 でも力学的エネルギー保存則に、腕は関われないということはおわかりいただ
けましたでしょうか。

 総合的なエネルギーの話でしたら、いろんなものを想定して組み入れてみるの
も面白いと思います。そんな中で、新しい法則が見つかるかもしれませんよ!

この回答への補足

再回答ありがとうございます。
ranxさんへのお礼の欄にも書きましたが、こんなふうに皆さんに
回答していただける事をとってもうれしく思っています。
エネルギー保存則は力学的エネルギーにのみ当てはまる、という事でしょうか?
宇宙全体を系としてエネルギー保存則が当てはまるからこそ、
宇宙は熱的死に向かう、と覚えていたのですが、
これはまた別の話なのでしょうか?
この辺も教えていただけるとありがたいのですが、
この質問は「新しい質問」として改めて質問した方がいいのかなぁ?

補足日時:2001/06/15 23:53
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3回目の回答となります。

ranxです。

joshua01さんの回答、興味深く拝見しました。腕がショックアブソーバーとして
生化学エネルギーの消費とは別に熱を発生するというのは面白い考え方だと
思います。しかし、どうも私の身体的感覚が、ちょっと違うと言っているように
思うのです。

物を持っていると疲れます。低いところの物を高いところへ持ち上げるのはもっと
疲れます。それに比べると、高いところのものを低いところへ降ろすのは楽です。
楽だということは、生化学エネルギーの消費が少ないことを示していないでしょう
か。もちろん、その分、熱の発生も抑えられます。
としたら、高いところにあったボールの位置エネルギーは、この生化学エネルギー
消費の減少分として体内に残ると考えることができるように思われます。降ろし方
によっては疲れることもあるでしょうし、その分、余計に生化学エネルギーを使う
ことになるでしょうけれど、それでも、位置エネルギーの減少分、生化学エネルギー
の消費は少なくてすむはずだと思います。

前2回の回答に比べると自信「あり」なのですが、トータルとしては自信「なし」
です。矛盾していますけれど。
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この回答へのお礼

3回目ありがとうございます。
いやー、うれしい。
こんなふうに皆さんに回答していただける事がとってもうれしいです。
いままで一人で本を読んであれこれ考えていましたが、
本は解らない事にずばり答えてもらえないので困っていました。
これからもよろしくお願い致します。

お礼日時:2001/06/15 23:28

おもしろい考察ですね。


hero1000さんのおっしゃるとおり、落下阻止のために腕がエネルギーを吸収したと考えるのが良いでしょう。

ボールが落下すると、通常、床に着地する段階でエネルギーは速度になっていて、理想のゴムボールは、永遠にバウンド(位置エネルギーと速度エネルギーの反復交換)します。

手でボールをゆっくり下ろし、床に着地する段階で、速度0であった場合、腕が「ショックアブソーバー」(エネルギー吸収器)として働いています。

ピストンとシリンダーに油を密閉し、小さな穴から油を吹き出すときの抵抗でエネルギーを吸収する「油圧アブソーバー」の場合、例えば自動車のタイヤ近くにおかれて車の振動を吸収するものは、熱となって、大変に熱くなっているときがあります。

腕の場合、腕の位置は、上に引き上げる筋肉と、下に引っ張る筋肉のバランスで成り立ってます。
筋肉が縮むと、アクチンとミオシンというたん白質が引き合いますが、このとき、食べ物のエネルギー(ATP)を使います。
一方、このたん白質の結合が切れるときは、イオンの移動が起こり、結局、熱が排出されます。

したがって、ボールのエネルギーは筋肉の熱になり、一方、筋肉がこまかな位置の調整をするためには、いっちょうまえに食べ物のエネルギーを使ということになります。

このため、「ボールのエネルギーを体が受取っているにもかかわらず、疲れてしまう」ということになるのです。

「高いところのボールを床におろしたら、元気が湧いてきた」みたいなことができればいいんですけどね

この回答への補足

回答ありがとうございました。
ボールを上げる時と下げる時では、下げる時の方がショックアブソーバーと
しての分だけ多くエネルギーを使う、ということでしょうか?
その分がボールの失った位置エネルギーだ、という解釈でいいのでしょうか?
今思い出しましたが、負荷に逆らって筋肉を縮める時より
負荷を支えながら筋肉を伸ばす時の方がよりエネルギーを使う、
と覚えていますが、これでしょうか?
この欄に書き込んでも再回答いただけるのかなぁ? 心配です。

補足日時:2001/06/15 22:17
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あ、そうか。

ボールは床に落としたのではなく、手で運んだのですね。
だからさほど音もしなかったと。
としたら、kajuramさんが正しいと思います。ボールの位置エネルギーは
腕の生化学的エネルギーを消費しながら、最終的には熱エネルギーに
変わったはずです。確かにhero1000さんのおっしゃる通り、この間の
仕事はマイナスですけれど、生化学的エネルギーは単にボールを持ち
続けるだけでも消費されますから、ボールの位置エネルギーの消費分
と生化学的エネルギーの消費分が熱エネルギーに変わるのではないで
しょうか。

この回答への補足

再び回答をいただきありがとうございました。
重力によって落ちていこうとするボールを支える、とい点は
ボールを上に上げる時も下に下げる時も同じではないのでしょうか?
上げる時も下げる時も腕のエネルギーを消費しながら
上げた時はボールの位置エネルギーが増え、下げた時は減る、ということが
解らないのです。
hero1000さんのおっしゃるように下げた時はマイナスの仕事だから
上げた時と下げた時では腕のエネルギー消費量に差があり、その分が
ボールの失われた位置エネルギー量だ、という解釈でいいのでしょうか?
この欄に書き込んでも再回答いただけるのかなぁ?

補足日時:2001/06/15 21:40
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では、物体が地面に着いた後のエネルギーはどうなるのでしょうか?
運動エネルギーは速さの2乗に比例しているみたいなので、速さが0になると運動エネルギーも0になるはずです。
しかし、力学的エネルギー保存の法則から運動エネルギーが0になったら位置エネルギーは最大になると思うので、再び運動エネルギーは0,位置エネルギーは最大になるのでしょうか?

Aベストアンサー

物体が地面に着いたとき、 跳ね返り係数 0≦e≦1 で跳ね返ると思います。
e=0 のとき、完全非弾性衝突で物体の跳ね返り速度は 0 になります。
e=1 のとき、完全弾性衝突で、物体ははじめに落とした高さまで跳ね返ります。

e=1 の場合のみ、物体は同じ高さまで跳ね返ります。
地面に着いた瞬間、初速度が反対方向に同じ大きさになるので、運動エネルギーは変わりません。
この場合、永遠に同じ高さまで跳ね返りを繰り返すでしょう。
すなわち、力学的エネルギーは保存します。

0≦e<1 の場合は、地面との接触で、摩擦が発生し、跳ね返りの初速度は、摩擦力による熱エネルギーなどに変換されて小さくなります。
この場合、何度も、跳ね返りを繰り返し、最終的には速度は 0 になります。
そのたびに、摩擦による熱エネルギーなどに変換されます。

結局は、一番初めに持っていた位置エネルギーは摩擦力による熱エネルギーなどに変換されて、運動エネルギーは 0 になります。

Qエネルギー保存則(位置エネルギーと熱エネルギー)

次の問いでどうしても理解出来ない点があります。


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    m×9.8×84=1000m×4.2×t
             t=0.196

    となっているのですが、なぜ水の質量mは1000でかけるのかが
    わかりません。
    どうしてなのでしょうか?
    また、位置エネルギー、熱エネルギーの公式は覚えておく方がよいのでしょうか。
 
    よろしくお願いします。

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これって、仕事の定義と同じでしょう。

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「物質の量(質量)が多いほど、それだけ熱を与えないと同じだけ温度が上がらない」
これさえ覚えておけば、いつでも、
温度上昇 = 比熱 × 質量 × 与えた熱量
という式が書けます。
単位だけ書くと、
K = ? × kg × J
ですから、つじつまを合わせるためには、比例定数である比熱の単位は当然、K/(J・kg) になります。

問題では、K/(J・kg) ではなく K/(J・g) になってしまっているので、
4.2K/(J・g) = 4.2K/(1J×0.001Kg) = 4200K/(J・Kg)
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Q運動エネルギーについての問題

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(3)速度vで走っている電車内で、電車と同じ方向に速度vでボールを投げたら、ボールの運動エネルギーは 1/2 m(2v)2 = 2mv2

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こんにちは。
No2で回答した者です。
ここでは、別の観点から説明します。

  (投げた後のボールの運動エネルギー)=
  (投げる前のボールの運動エネルギー)+(投げる間にボールに対して行った仕事の量)…(**)

上の関係は一般的に成り立つものですが、もう習いましたか? 
これに基づいて、問題を考えてみましょう。

No2と同じく、
 電車の速さを V とし、
 投げた後の電車に対するボールの速さを v とします。

さて、この変化をどの観測者の立場で考えるのか、を明らかにすることが大切です。
ここでは、地上に静止している観測者の立場で考えましょう。
 (投げた後のボールの運動エネルギー)=これがあなたの(3)の運動エネルギーです。
 (投げる前のボールの運動エネルギー)=1/2 mV^2=これがあなたの(2)の運動エネルギーです。
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  (投げる前のボールの運動エネルギー)+(投げる間にボールに対して行った仕事の量)…(**)

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(4)重心に対する相対速度の表現を求める。
(5)はじめの速度で表した運動エネルギーの和(K)、重心に対する相対速度で表した運動エネルギーの和(K’)の表現を求める。
(6)重心の運動エネルギー(KG)の表現を求める。
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以下に自分なりの説明を試みてみます。

たとえて言うならば
お金持ち=口座残高が多い=金を使いまくる
みたいな等式が成り立ちそうに思ってしまうけれども実際はそうではない、というようなものです。

「運動エネルギー(K)」と「力(F)」は両方とも「運動量(p)」に関係があるのですが、この3つは別のものです。
つまり K と p の間には関係があり、p と F の間にも関係があるのですが、
もちろん K と p は違うものだし、p と F も違うものです。

関係があるけど違うもの、という例は、たくさんあります。
物理の範囲に限ってみても「熱と温度」「電流と電圧と電力」などの例があるし、
円の面積と円周の長さとか、会社の資産と収入や支出とかもそうです。

> 運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
まず「力がある」というのが物理の概念としてはおかしいです。
力というのは「受ける」ものであって「ある(持つ)」ものではありません。
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言わば「寄付を受ける」「年金を受ける」と同じ意味で「力を受ける」と言っているわけです。

もしこれが
「運動エネルギーをもつということは運動量をもつということですよね?」
だったら、それ自体は正しいと言えます。
もちろん「運動エネルギー」と「運動量」が同じという意味ではありません。
運動量はベクトルであるのに対し、運動エネルギーはスカラーであって、性格が根本的に異なるのですから。
しかし「運動エネルギーは運動量の大きさで決まる」ということは言えます。
三角定規の面積は(形が相似なら)底辺の長さで決まる、というのと同じです。

他方、運動量と力の関係は、口座残高と口座取り引きの関係にたとえられます。
さきほどの「年金を受ける」を例に考えてみましょうか。
仮に1年あたり100万円の年金を受けて、それを何にも使わず貯めておいたとすると、
5年たてば500万円の貯金ができるでしょうか?
答えは必ずしもそうとは限りません。
最初に200万円の借金があったら300万円しか貯金できないわけですから。

力というのはこれと似ていて、力を受けると運動量が必ず増えるかというと、そうとも言えません。
もう少し物理的に言うと「力や運動量には向きがある」という点を考慮する必要があります。
大きな慣性をもって東向きに進んでいる物体に、西向きの力を加えたら、
その力はブレーキとして働くわけですから、運動量の大きさはゼロに向かいます。
(もちろん長時間にわたって力を加えつづけたら話は別で、西向きの運動量を生じます。)

このことと、上に書いたこととをあわせて考えると、
> 物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。
とは言えないことが分かります。
力がブレーキとして働く(運動量の大きさを減らす)なら、物体は運動エネルギーを失うわけだし、
また物体が最初から運動しているなら、力など受けなくても物体は運動エネルギーをもつのですから。
(力を受けない物体は等速直線運動を続ける、という慣性の法則を思い出してください。)

では初期状態を静止に決めておいたら、大きな力は大きな運動量を生じるでしょうか?
それもそうとは限らないですよね。
運動量の変化は力の時間的積算量(力積)だから、
力の大きさだけでなく時間の長さも関与するはずです。
100万円の年金を1年もらった場合と、10万円の年金を30年もらった場合を考えてみてください。

以上、式でまとめて書くと
K = p^2 / (2m)
Δp = F Δt
という関係がなりたちますが
「Kはスカラーだがpはベクトル」
「pはFの積算量」
という点に注意して考えれば、K, p, F の違いが理解できると思います。

> 運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
> 物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。

答えは「そうではない」のですが、どこが違うのかが知りたいのですよね。
以下に自分なりの説明を試みてみます。

たとえて言うならば
お金持ち=口座残高が多い=金を使いまくる
みたいな等式が成り立ちそうに思ってしまうけれども実際はそうではない、というようなものです。

「運動エネルギー(K)」と「力(F)」は両方とも「運動量(p)」に関係があるのですが、この3...続きを読む

Q位置エネルギー 運動エネルギー

10円玉を1m上から水平な床面に垂直に落としたとしたらそのエネルギーはどうなりますか。どの範囲まで転がる力がありますか。

Aベストアンサー

高さh(m)の場所から自由落下した物体が地面にぶつかるまでの時間をt(s)とすると、h=a・t^2/2という式が成り立ち、
(aは重力加速度 -> 9.8m/s^2と仮定)高さは1mなので、1=9.8・t^2/2で、t≒0.45。
地面に衝突時の速度は0.45・9.8=4.41m/sで、時速約16km/h 位になります。

これから後の計算はちょっと分かりません。
床面の固さ(衝撃をどれだけ吸収するか)や床の素材等(摩擦)でころがる距離は変わりますし、計算上では力が真下に加わった場合ころがらない事になります。しかし現実は床面は完全な平面でないためどちらかに転がる事になります。
と言う事でこれらの場合は実際にやって見るのが一番てっとり早いと思います。ちなみに私が絨毯の上でやってみたら一度上に跳ね返ってから落下点より12cm右側で止まりました。

Q運動量と運動エネルギーについて

物理における力学で、運動量と運動エネルギーの違いが
分かりません。例えば、質量mのボールが速度vを持っているとき、運動量は m×v 、 運動エネルギーは 1/2mv^2 と定義される。
と教科書には書いてありますが、僕にとっては、運動量も運動エネルギーも、どちらもイメージとしてボールが持つ「勢い」と思えてきて、二つをわざわざ定義する意味というか、根拠が良く分かりません。
定義により、そういうものと決まっている、約束する、
と言われればそれまでなのですが、運動量と運動エネルギーの持つ物理学的な意味は何なのでしょうか。

Aベストアンサー

あまり難しいこともいえないので定性的な面で見てみます。

運動量はradioswimmerさんのいうようにボールの勢いと考えても悪くないように思います。重要なのは運動量がベクトル量、つまり向きと大きさを持った量だということです。習ったかと思いますが、「速さ」とは違って「速度」は向きと大きさを同時に表している、数学のベクトルと同じものです。(ベクトルのままでは計算しにくいので物理で扱うvはスカラー量になっていることが多いですが、その際は必ず日本語で『~方向に速度vで運動する・・・』というように向きが明示してあるはずです)運動量がmvであるというときのvは「速度」すなわちベクトルですから、mvはベクトルの実数倍、vと向きが同じで大きさがm倍のベクトルを表すのです。運動量mvとは「質量mの物体がベクトルvの向きに速さ|v|(絶対値)で動いている」ことを表しているのです。

それに対してエネルギーはスカラー量、つまり向きを持ちません。なぜならベクトルvが二乗されているからです。ベクトルの二乗は大きさの二乗を表す(内積を考えてください)ので、vの二乗が含まれる運動エネルギーが向きの情報を持たないのは式からもわかります。大切なのは運動エネルギーが「エネルギー」だということでしょう。熱「エネルギー」や重力「エネルギー」と同じカテゴリーに属していて、それらすべてでエネルギー保存が成り立っています。運動量ではこうはいきません。

わかりにくいですね^^;すいません

あまり難しいこともいえないので定性的な面で見てみます。

運動量はradioswimmerさんのいうようにボールの勢いと考えても悪くないように思います。重要なのは運動量がベクトル量、つまり向きと大きさを持った量だということです。習ったかと思いますが、「速さ」とは違って「速度」は向きと大きさを同時に表している、数学のベクトルと同じものです。(ベクトルのままでは計算しにくいので物理で扱うvはスカラー量になっていることが多いですが、その際は必ず日本語で『~方向に速度vで運動する・・・』という...続きを読む

Q人工衛星の運動エネルギーと位置エネルギー

こんにちわ

「地球の周りの円軌道上を回る人工衛星がある。その運動エネルギーTと無限遠を基準とした位置エネルギーTとの間には2T=-Uの関係」があるそうです。
これを証明するにはどうしたらいいのでしょう。

それと、手元に物理のテキストなどが無いため「無限遠を基準とする」という言葉自体分からないのですが、そのような言葉について解説してあるページなどありましたら、ご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

今の話ですと,地球の中心からの距離を rとして,
ポテンシャル U(r) は力 F(r) と
(1)  F(r) = - dU(r)/dr
となるように定義されています.
力 F(r) の大きさは GMm/r^2 ですが,
これは引力ですから r 方向(中心から外向き)と逆方向を向いています
(Gは万有引力定数,M は地球の質量,m は人工衛星の質量).
したがって
(2)  F(r) = - GMm/r^2
と考えてください.
(1)(2)を比べると(あるいは積分して)
(3)  U(r) = -GMm/r + (定数)
となることがわかりますが,「無限遠を基準とする」というのは
(4)  U(∞) = 0
となるように選ぶということです.
すなわち(3)の定数はゼロにしなさいということになります.

あとは ADEMU さんご紹介のページにもありますように
遠心力と引力の釣り合いから
(5)  mv^2/r = GMm/r^2
で,両辺に r/2 を掛けると,左辺は
(6)  mv^2/2 = T
右辺は
(7)  GMm/2r = -U/2
になりますから,直ちに
(8)  2T = -U
が得られます.

この関係式は力学でビリアル定理と言われるものの特別な場合になっています.
(8)の係数の2や -1 はどのような系かによって変わります.
調和振動子(ばね+おもりの運動)で,1周期の運動エネルギーの平均値と
ポテンシャルエネルギーの平均値が等しくなっていますが(<T> = <U>),
それもビリアル定理の一例です.

今の話ですと,地球の中心からの距離を rとして,
ポテンシャル U(r) は力 F(r) と
(1)  F(r) = - dU(r)/dr
となるように定義されています.
力 F(r) の大きさは GMm/r^2 ですが,
これは引力ですから r 方向(中心から外向き)と逆方向を向いています
(Gは万有引力定数,M は地球の質量,m は人工衛星の質量).
したがって
(2)  F(r) = - GMm/r^2
と考えてください.
(1)(2)を比べると(あるいは積分して)
(3)  U(r) = -GMm/r + (定数)
となることがわかりますが,「無限遠を基準とする」という...続きを読む


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