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四面体ABCDにおいて、辺AB,CDの中点をそれぞれM,Nとし、線分MNの中点をPとする。△BCDの

締切済

質問者：dorakuex
質問日時：2015/10/05 22:56
回答数：1件

四面体ABCDにおいて、辺AB,CDの中点をそれぞれM,Nとし、線分MNの中点をPとする。△BCDの重心をGとするとき、3点A,P,Gは一直線上にあることを証明せよ。この問題の解き方を教えてください

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回答 (1件)

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No.1

回答者：スチールウール
回答日時：2015/10/06 03:47

表記は全てベクトルと思ってください

AB=b,AC=c, AD=dとおく
AM=1/2b
AN=1/2(c+d)
AP=(AM+AN)/2=(b+c+d)/4

DG=1/2(DB+DC)*2/3=1/3(AB-AD +AC-AD) =1/3(b+c-2d)
AG=AD+DG=d+1/3(b+c)-2/3d=1/3(b+c+d)

よって、AG=4/3APとなるため、APGは一直線上に存在する

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