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極限の問題です。助けてください 解説もお願いします
次の数列の極限値を教えてください。

(1) lim n→∞ (3n+2)/(n-1) (2) lim n→∞ (n+1)/(2n^2 -n-3)

(3) lim x→4 (x^2 -16)/(x-4) (4) lim x→∞ (3^x +3)/(3^x -3)

(5) lim x→∞ {√(n+3) -√n } (6) lim x→0 {√(x+1) -1}/x

A 回答 (2件)

極限を求めるには


例えば、lim n→? f(n)をもとめるなら、
①f(n)にn=?を「代入」する。(数学的には代入してはならないので、答案には書かないこと。)
②①で問題が生じれば、解消策をとる。生じなければその値が答え。

(1)
「代入」すると、
∞/∞となる。
さて、∞/∞=1でしょうか?勿論違います。

そもそも、n→∞の意味を考えてみると、理由がわかると思います。

n→∞とはnがだんだん大きくなっていって、∞にギリギリまで近づくこと。

さて、そのようなnの値の変化に伴って、3n+2、n-1はどう変化するでしょうか?

直線y=3x+2、y=x-1を描いてみたら、y=3x+2の方が先に∞に行きそうですね。

というわけで、∞/∞と言いましたが、実際は分子の方がデカイんですね。

でも、どれだけデカイか分からないと。

よって「定まらない」、つまり、不定形。(という解釈でいい。)


さて、①の結果、前述の通り、問題、が生じました。

これを解消します。

問題の原因は「代入」したのが∞だったからです。
これが有限値だったら、「代入」結果も有限値になるハズですよね。(例外はあるが)
n→∞のとき、1/n→0ですよね。
n→∞のとき、n>0と見なせますので、分子、分母ともにnで割ります。
はい、そういう事です。コレで解消されましたね。

(2)
「代入」すると分子は∞、分母は∞^2。。。
さて、n^2で割って解消。。。というわけにはいかないんですよね。何故?
コレも先ほど同様、分子、分母のグラフを描くと判ります。
分母は放物線で、ほぼ垂直に上昇しますが、分子はそれと比べると、明らかにゆっくり上昇します。
つまり、(1)で起きたような無限への到達の時間差どころでは無いほど、どうしようもないほど開いてしまったわけです。
よって、(1)で行った解消策をする前に、この差を小さくしとかないと、「誤差」がデカくなりますよね。

というわけで、分母の次数を下げようと試みます。
分母を因数分解して、、、
約分できますね。
1/(2n-3)になるので、n→∞の時、分母が莫大になり、0に収束するのは明らかですね。

(3)
「代入」すると分母が0、分子は0になる、つまり、∞になるのか、0になるのか不明ですよね。(始めは)0に限りなく近いでしょうが、次第に分母が0に負けぬほど小さくなって、下手したら全体として無限になるかもしれないですよね。

つまり不定形。

解消策。
ややこしい原因は上の議論で気づいたと思いますが、分母が0に限りなく近づくこと。
よって、これを解消したい。

分子を因数分解。約分で解消できました。

(4)
(1)と全く同じです。理由は先程までと同様に考えれば分かるハズ。(分からなければ補足ください)

(5)
∞-∞。
殆ど時間差は無いとはいえ、やはり気になります。
ホントに0なのかと。

ホントに0かは、分数に直して、分母が∞になることが明らかなら、納得行きますね。

分母の有理化をした結果、√(n+3)-√nになったと考えると、どうすべきかわかるハズ。(分からなければ補足下さい)

(6)
分母が0に限りなく近づくのがややこしい原因。
解消するには?


約分ですね。

どう約分するか?(1)~(5)から勘付けませんか?
(分からなければ補足下さい)



最後に、

極限は方法を覚えるだけではいつまで経っても意味わからん単元です。
自分なりに納得行く理論を考え出せば良いでしょう。
あと、
解消策、として用いる計算方法は、のちの単元、微分積分でも頻繁に使います♪
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1) 分子分母をnで割れば、(3+2/n) / (1-1/n) x/nはゼロに収束するので 3


2) 分子分母をn^2で割れば、(1/n+1/n^2) / (2 - 1/n -3/n^2) 分子は0, 分母は2なので 0
3) 分子を因数分解して (x+4)(x-4) / (x-4) = x+4 xを4に持っていけば 4+4 = 8
4) 3^xで割れば、(1+3^(1-x)) / (1 - 3^(1^x)). 3^(-∞)はゼロに収束する(指数関数のグラフを思い出して下さい)ので、 (1+0)/(1-0) = 1
5) 分子分母に (√(n+3) + √n)を掛けて {(n+3) - n} / {√(n+3) + √n} = 3/(√(n+3) + √n). xなんて存在しないけどnを無限大に持って行くと、分子は3, 分母は∞+∞ = ∞. よって0
6) 分子分母に {√(x+1)+1}を掛ければ、 {(x+1) - 1} / [x{√(x+1)+1)] = x/x[{√(x+1)+1)] = 1/{√(x+1)+1). 分子は1で、分母は2に収束するので、1/2
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