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【問題】
群Gの部分群H,Kに対して、共通部分H∩KもGの部分群となることを示せ。

【回答】
H,Kは群Gの部分群である。
よって、群Gの演算が同様に部分群H,Kでも成り立つものである。
また、群の公理から、すべての元に対して、
ex=x=xe
xx'=e=x'x
となる単位元、逆元が存在する。
ここで、a,cがHに含まれ、b,cがKに含まれるものとする(記号が打てなかったので含まれると表記)。
単位元と逆元が存在するはずなので、
a,a',c,c',eがHに含まれ、
b,b',c,c',eがKに含まれることになる。
H∩Kはc,c',eである。
また、部分群H,Kに群Gの演算が成り立ったように、この群にも群Gの演算が成り立つ。
元cには逆元が存在している。
これらのことから、H∩KもGの部分群であると言える。

上のように回答しました。
どなたか添削をお願いします。

A 回答 (1件)

大きな問題としては「H∩Kはc,c',eである。

」以降がまるでなっていない.

1. 「H∩Kはc,c',eである」が何を言っているのかわからない. c が e が H の元であるならこの文章自体がおかしい. よしんば「c,c',eである」を「{c,c',e} である」と解釈しても, 今度は「H や K の選び方によらず H∩K は (たかだか) 3つの元からなる」と主張していることになって, それはやっぱりおかしい.
2. 「部分群H,Kに群Gの演算が成り立ったように、この群にも群Gの演算が成り立つ」の部分, 後半の「この群」は何を指している? もし H∩K を意味するのだとしたら, この時点で「この群」と書くのは論理的におかしい (H∩K が群となることを示せというのが問題の本質であり, この時点ではまだ群となることを証明していないのだから「群」と書いてはいけない). 一方「この群」が指すものが H∩K ではないとするなら, それがなんなのか明示する必要がある.
3. 「元cには逆元が存在している」という文章で何を言いたいのかわからない. これは上の 2 とも絡むのだが, 2 で「この群」が H∩K を意味するのだと (論理的にはおかしいのだが仮にそのように) したら, 「元cには逆元が存在している」というのは当たり前のことであってわざわざ言わなければならないようなことではない.

もうちょっと突っ込んでおくと, 例えば「また、群の公理から、~となる単位元、逆元が存在する。」のところも x や x', e が何を指すのかきちんと書いておかないとまずいし, そのあとの「a,a',c,c',eがHに含まれ、b,b',c,c',eがKに含まれることになる。」でも a' や b', あるいは e がなんなのかわからない.

さらに, 厳密にいうと「ここで、a,cがHに含まれ、b,cがKに含まれるものとする」もまずい. このように書くと H∩K が空になることはないと保証していることになる (そして実際空になることはあり得ないのだ) が, その理由がどこにも書かれていない. あと, H や K が 1要素であるという場合を無視してしまっている.
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この回答へのお礼

再度考え直してみます。
ありがとうございます。

お礼日時:2015/11/07 16:30

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Q部分群であることの証明

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。


回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

 #無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「1」ですね。 任意のR0∋c について、

c×1=c 動かないので単位要素だね。

逆要素は、c^(-1)だね。 c×(1/c)=1 単位要素に帰るわけだから。

 #0をどけたのは、これができないから。

例) c=√2 のとき c×c^(-1)=√2/√2 =1

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Hもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな? そしたら少しつかめると思うけど。


そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ~と思ってました。

「群論への30講」 志賀浩二 著 朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ(^^;)

本屋さん(大きな)に行く機会があったら、捜してみて?

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。


代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな?

群 って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね?

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。


でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにHの要素を

持ってきてみて?

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません...続きを読む

Q部分群になるための必要十分条件

群Gの部分集合HがGの部分群であるための必要十分条件は

(1)HH⊂HかつH^(-1)⊂H
または
(2)HH^(-1)⊂H

であるということがありあすが、
HH^(-1)=Hだけで必要十分条件だと言えますか?

つまり、群Gの部分集合HがGの部分群である⇔HH^(-1)=H

は真でしょうか?(⊂でなく=)

できれば証明のヒントもください

Aベストアンサー

>> 最初の五行の命題を仮定しなければH < G <--> HH^-1 = Hは成り立たないのか、
御自分が書いていることの意味を、きちんと理解していますか。
支離滅裂な内容ですよ。
「最初の五行を補題として使わなければ、H < G <--> HH^-1 = H を証明できないのか」なら、一応意味だけは通じますけれど。
もう少し、一生懸命学問なさってください。

ただし、

>> こういうことでしょうか?(確認)
>> H < G <--> HH^-1 ⊂ H <--> HH^-1 = H
>> という論理関係でしょうか?
この部分に関しては、理解できたようですね。
御指摘の通り、それら3つの条件は互いに同値です。
ANo.2 で書いたように、H < G <--> HH^-1 ⊂ H を利用すれば、ほぼ集合論だけで H < G <--> HH^-1 = H を証明できます。
必ず、御自身で証明を完成させてください。

Q代数学の質問です[準同型定理]

次の問題が与えられています。

整数nに対して、φ(n)=i^nと定める。ただし、iは虚数単位。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば更なる意味や価値も見えてくるかもしれませんが, 少なくともこのような問題を解く段階で出題者がそんなことを要求するとは思われません)

※これは余談ですが, 念の為, 一点前の質問に関連して, 初学者向けの注意をしておきます. 前回も二項演算が重要だというようなことを書きましたが, 群は集合と二項演算の組ですから, 本来は上の同型も Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} ではなく (Z/4Z, +) ~= ({1,i,-1,-i}, ⋅) というように群の演算を明記した上で書くべきです. ですが, 一々演算を明記するのは面倒だし, たいていは文脈から判断できるので, 省略して Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} というふうに書くことが多いのです.

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば...続きを読む

Q【代数学】可換群の証明

【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在

①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。

【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。

Aベストアンサー

質問者は問題の意図を完全に理解していません。

問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。

Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。

ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2

質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。

x(yx)y=x^2y^2

この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
xy=yx
が得られるはずです。


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