γ(s):弧長パラメータ表示された空間曲線
κ(s):γ(s)の曲率
τ(s):γ(s)の捩率
このとき、s=0の近くで
γ(s)=γ(0) + se(s) + (s^2/2)κ(0)n(0)
+ (s^3/6){-(κ(0))^2e(0) + κ'(0)n(0) + κ(0)τ(0)b(0)} + o(s^3)
と表される。
ただし、e(s)、n(s)、b(s)をそれぞれ、単位接ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトルとし、
o(s^3)はランダウの記号である。

これがBouquetの公式ですが、これの
(s^3/6){-(κ(0))^2e(0) + κ'(0)n(0) + κ(0)τ(0)b(0)}
の部分について2つ質問があります。
1つ目は、e(0)の係数になぜマイナスが出てくるのか、ということです。
ここの符号がプラスだとしたらどんなことが起こるのでしょうか?

2つ目は、b(0)の係数になぜκ(0)τ(0)が出てくるのか、ということです。
τ(s)は捩率で、捩率というのはb(s)の方向(もしくは逆方向)に曲線がどのくらい捩れていくかを表すものだと私は捉えています。
そう考えると、b(0)にτ(0)がかかっているのは納得できるのですが、κ(0)がかかる理由がよくわかりません。

Taylor展開をすれば上記の式になるのはそうなのですが、
この式が表す意味をご教授いただきたいです。

A 回答 (4件)

No.4 までかかってようやく質問者さんに追いついたか。



質問:γの3階微分のところの話で
κ^2 についているマイナスを明らかだと思えるか?
τになぜκがかけられているのか?
ですかね。

γの3階微分はγ'' = κn の微分で
γ''' = κ'n + κn'
ですが、κn' がフレームの変化と関係するところです。
κn' = κ(-κe + τb)
なので、τにκがかけられます。
これは単に、曲線の変化を表すものとフレームの変化を表すものにギャップがあるということですね。

(κ'n が No.3 でこじつけられなかったのは、フレームの変化に関係しないからだろうな)


フレネ標構の変化の兆しを図示してみました。たぶんこういうことなんですね。
κ関係(赤)だけ、またはτ関係(青)だけ見れば回転を予感させます。

n の先端を見れば、フレームの変化にある回転の成分から、κn の変化の e 方向はマイナスの方向だと(微分もふまえてなら)一目瞭然!


図にすると見えるので本当に質問に答えているのか不安になりますが、私にはこれが精一杯。望む回答でなかったらあしからず。
とにかく、私には有意義でした。
「Bouquetの公式について(空間曲線)」の回答画像4
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!

フレネ標構の変化の兆しを図示するという発想がなかったため、非常に勉強になりました。まだまだ頭がかたいですね;;
確かにこの図を見るとマイナスがつくのも納得がいきます。
んー、深いですね。

お礼日時:2015/11/19 01:00

よく考えたところ、フレネ-セレーの公式の私の認識が浅かったことに気づいたので報告します。



e' = κn
n' = -κe + τb
b' = -τn

これは、フレネ標構が b 右回りに角速度(のようなもの)κで回転、e 右回りに角速度(のようなもの)τで回転すると解釈できます。

こうなると、τがなぜ捩率というのか理解できます。

私は捩率を誤解していましたし、式の意味を理解していませんでした。申し訳ないです。
(これで私の中でκとτが対等になりました。)


この回転を使ってこじつけてみました。
κn は加速度ベクトル(のようなもの)ですが、この矢印を b 右回りに角速度(のようなもの)κで回転すると先端の動く速度ベクトル(のようなもの)は -κ^2 e 、e 右回りに角速度(のようなもの)τで回転させると先端の動く速度(のようなもの)が κτb ですね。

で、残る κ'n は今のところ謎です。
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> 私は捩率を、捩率の定義式「b'(s)=-τ(s)n(s)」で捉えています。



フレネ-セレーの公式の第三式から、捩れの程度が感覚的にわかるんですか?
これが私にはわからないのです。

私自身、初めて見たときは捩率そのものが捩れの程度を表すような気がしてました(公式の第二式です)が、その根拠があいまいだと気づきました(私にはそう感じられた)。名前にだまされてたんじゃないか、わかった気になってたんじゃないかと思いました。

私はブーケの公式で、捩れの程度を表すものが何なのかを感じ取れます。


念のため書いておきますが、κ(s)n(s) は e(s) を s で微分したもの、
-κ(s)^2 e(s) + κ'(s)n(s) + κ(s)τ(s)b(s) はもう1回微分したものです。
b(s) (方向への効果)は3次近似で初めてあらわれるわけですが、その τ はフレネ-セレーの公式の第二式から来ています。
先頭のマイナスもそうですね。
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計算すれば e(0) の係数にマイナスが出てきますが、何か気に入らないことがあるのでしょうか?


「ここの符号がプラスだとしたらどんなことが起こるのでしょうか?」
だなんて、奇妙な質問です。
まるで、「 x=2 のとき、3x = -7 だったらどんなことが起きますか?」みたいに思えます。


捩率って本当に「 b(s)の方向(もしくは逆方向)に曲線がどのくらい捩れていくかを表すもの」なのでしょうか。
どの式からそう読みとったのか、私はそこが知りたいです。


結局、質問に答えてませんね。私の読み方でも書いておきます。読み方は外れてないと思います。

1次近似
γ(s) = γ(0) + se(0) + o(s)

γ(0) から e(0) 方向に微少量 s 進んだところに γ(s) がある。


少し感度を上げてみる。
2次近似
γ(s) = γ(0) + se(0) + (s^2/2)κ(0)n(0) + o(s^2)

先ほどのものに加えて、n(0) 方向に修正すべき成分を検知した。(s^2/2)κ(0) は、γ(s) がこの先 e(0) が乗る直線から離脱しようとする、s=0 地点での意志を表すといえるだろう。0 でなければ曲がるという意志。κ(0) が大きければ曲がり方も大きくなる。


もっと感度を上げてみる。
3次近似
γ(s) = γ(0) + se(0) + (s^2/2)κ(0)n(0)
+ (s^3/6){-(κ(0))^2e(0) + κ'(0)n(0) + κ(0)τ(0)b(0)} + o(s^3)

さらに、ブレーキ、n(0) 方向に何か知らんがノイズ、新たに b(0) 方向に何かを検知した。もし κ(0)τ(0) が 0 でなければ、e(0) と n(0) が乗る平面から離脱する意志を、s=0 地点で確認したことになる。



フレネ-セレーの公式から捩れ具合が直接読み取れるんだったら脱帽。私はテイラー展開派なので。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
気に入らないことがあるのではなく、「プラスだったらどんなことが起こるのか?」というのは、つまり「マイナスになるのがどのくらい自然なことなのか」ということを知りたいのです。「3x=-7だったらx=2にはなりえないよね」みたいな感覚が持てればうれしいな、と思って。

私は捩率を、捩率の定義式「b'(s)=-τ(s)n(s)」で捉えています。
もしくは、Frenet-Serretの公式を行列表示して、フレームの変化として捉えています。

式の読み方、参考にさせていただきます。

お礼日時:2015/11/15 22:21

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