球ベッセル関数の漸化式

図の問題なのですが、1つ目の漸化式はわかるのですが、2つ目が分かりません。

1つ目の漸化式とベッセル関数の漸化式を使えば、出るというのですが、どう変形してもなりません。教えてください。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/11/19 22:02

ｆ[n-1](x) + ｆ[n+1](x) = ((2n+1)/x)・ｆ[n](x)・・・①

n・ｆ[n-1](x)－(n+1)・ｆ[n+1](x) = (2n+1)・ｆ'[n](x)・・・②

①×n - ②を作る
ｆ[n+1] = (n/x)・ｆ[n](x)－ｆ'[n](x)・・・③

①×(n+1) + ②を作る
ｆ[n-1](x) = ((n+1)/x)・ｆ[n](x)＋ｆ'[n](x)・・・④

④のn-1をnに置き換える
ｆ[n](x) = ((n+2)/x)・ｆ[n+1](x)＋ｆ'[n+1](x)・・・⑤

③の両辺を微分
ｆ'[n+1](x) = (n/x)・ｆ'[n](x)－ｆ[n](x)・(n/x^2)－ｆ"[n](x)・・・⑥

⑤のｆ[n+1](x)とｆ'[n+1](x)のところに③の右辺と⑥の右辺を代入
ｆ[n](x) = (n(n+1)/x^2)・ｆ[n](x)－(2/x)・ｆ'[n](x)－ｆ"[n](x)

整理して
x^2・ｆ"[n](x)＋2x・ｆ'[n](x)＋{x^2－n(n+1)}・ｆ[n](x) = 0