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高校数学です。
2時方程式X^2-2mX+2m+3=0が異なる2つの負の解をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ。
途中式とその考え方が分かりません。

A 回答 (1件)

判別式を使います。


X^2-2mX+2m+3=0
ですので4m^2-4(2m+3)>0
4m^2-8m-12=m^2-2m-3
          =(m-3)(m+1)>0
 m<-1、m>3
f(0)>0
2m+3>0
m>-3/2
極値の時x<0
2x-2m=0
x=m
m<0

-3/2<m<-1
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Q二次方程式x^2+2(m-1)x+1=0が異なる二つの負の解をもつように、定数mの値の範囲を求めよ。

二次方程式x^2+2(m-1)x+1=0が異なる二つの負の解をもつように、定数mの値の範囲を求めよ。
とあるのですが
①判別式をDとしたとき、D>0
②軸>0
③f(0)>0
を成り立たせたのですが、
③の所で、f(0)=1>0となり、すべての実数で成り立つとなったのですが、なんですべての実数で成り立つのかがわかりません。

Aベストアンサー

補足について

2次方程式の解は以下の様に分類されます。
分岐Ⅰ 判別式Dの符号(当然ax^2+bx+c=0のb^2-4acの符号で決まる)
 ├ア D<0:実数解なし 例:x^2+x+1=0 → D=1^2-4*1*1=1-4=-3<0
 │  ※実数解が無いのでこれ以上分岐を考える必要はありません。
 ├ D=0:実数解1つ(頂点のx座標がそのまま解となります)
 │ └分岐Ⅱ-A 頂点のx座標Xの符号(ax^2+bx+c=0のb/aの符号で決まる)
 │  ├イ X>0:解は正の値 例:x^2-2x+1=0 → D=4-4=0 (x-1)^2=0 X=x=1>0
 │  ├ウ X=0:解は0    例:x^2=0 → D=0-0=0 X=x=0
 │  └エ X<0:解は負の値 例:x^2+2x+1=0 → D=4-4=0 (x+1)^2=0 X=x=-1<0
 └ D>0:実数解2つ(解の内最低1つは頂点のx座標と符号が等しい)
   └分岐Ⅱ-B
    ├ X>0:解に正の値が含まれる
    │ └分岐Ⅲ-A x=0の時の「yの値f(0)と頂点のy座標Y」の符号
    │  │  (ax^2+bx+c → (x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2 より
    │  │   f(0)=c,Y=b^2-4ac なので b^2/c-4a の符号で決まる)
    │  ├オ f(0)とYの符号が等しい:2つの解は符合が異なる
    │  │   例:x^2-2x-3=0 → D=4+12>0 (x-1)^2=y+4
    │  │     X=1>0 Y=-4 f(0)=-3 x=1±2=-1,3
    │  └カ f(0)とYの符合が異なる:2つの解は符号が等しい=2つとも正の値
    │      例:x^2-4x+3=0 → D=16-12>0 (x-2)^2=y+1
    │        X=2>0 Y=-1 f(0)=3 x=2±1=1,3 
    ├ X=0:2つの解は正の値と負の値が1つずつ含まれ、その絶対値は等しい
    │  例:x^2-1=0 → D=0+4>0 x^2=1 X=0 Y=f(0)=-1 x=±1
    │  ※X=0なのでf(0)=Yであり、当然符合は一致します。よって分岐させる必要なし。
    └ X<0:解に負の値が含まれる
      └分岐Ⅲ-B
       ├キ f(0)とYの符号が等しい:2つの解は符合が異なる
       │   例:x^2+2x-3=0 → D=4+12>0 (x+1)^2=y+4
       │     X=-1<0 Y=-4 f(0)=-3 x=-1±2=-3,1
       └ク f(0)とYの符合が異なる:2つの解は符号が等しい=2つとも負の値
           例:x^2+4x+3=0 → D=16-12>0 (x+2)^2=y+1
             X=-2<0 Y=-1 f(0)=3 x=-2±1=-3,-1

解の条件を考える時はこれらの場合わけを考えますが、
考えるまでもなく当然の事ながら1<0となるものはありません。
f(0)=1<0という条件にmどころか変数が一切関与していないからです。
よって、そのような条件を満たす解は存在しないので、解なしとなります。

補足について

2次方程式の解は以下の様に分類されます。
分岐Ⅰ 判別式Dの符号(当然ax^2+bx+c=0のb^2-4acの符号で決まる)
 ├ア D<0:実数解なし 例:x^2+x+1=0 → D=1^2-4*1*1=1-4=-3<0
 │  ※実数解が無いのでこれ以上分岐を考える必要はありません。
 ├ D=0:実数解1つ(頂点のx座標がそのまま解となります)
 │ └分岐Ⅱ-A 頂点のx座標Xの符号(ax^2+bx+c=0のb/aの符号で決まる)
 │  ├イ X>0:解は正の値 例:x^2-2x+1=0 → D=4-4=0 (x-1)^2=0 X=x=1>0
 │  ├ウ X=0:解は0    例...続きを読む

Q二次関数~二つの負の解

「二次方程式x二乗+4px-4p+3=0が2つの異なる負の数の解をもつとき定数pの値の範囲を求めよ」という問題があるのですが、どう求めればいいのかわかりません;;今高3なので数Iの問題は復習という形になるのですが、やはり一年の頃から理解できてなかったようでサッパリです。
f(x)=という形に直して求めればよいのでしょうか?

問題集に答えは載っているのですが、解説や途中経過が全く載っていないので困っています(ちなみに答えは1/2<p<3/4でした)。
どなたか途中経過を説明して下さると幸いです。

Aベストアンサー

分からないときは、視覚的にグラフを書いてみましょう。

異なる2つの異なる解を持ち、両解は負を満たすグラフを書いてみて。紙に直交座標と放物線を書くだけだけど。

考えると、与式=f(x)=(x+2p)^2-4p^2-4p+3としたとき。
異なる2解を持つならば-4p^2-4p+3<0である必要があります。

さらに、解が共に負ならば、グラフを書いていると。

関数f(x)の頂点(軸)より左に存在する解が負であるなら軸x-2p<0である必要があります。

さらにもうひとつの、関数f(x)の頂点(軸)より右に存在する解が負であるには、関数f(x)とx=0のグラフとの交点のy座標が正である必要があるのでf(0)=-4p+3>0である必要があります。

したがって、
-4p^2-4p+3<0
x-2p<0
f(0)=-4p+3>0
を同時に満たす範囲が回答となります。

とまぁ、多分あっている気がします。
検算してないし、ロートル選手なのでw
それにもっとスマートなとき方があると思います。

また蛇足ですが、確か有名大学の数学の問題で、計算だけでやろうとするとものすごく時間がかかるが、グラフを書いてみると5分で解けるといった問題に出会ったことがあります。
まずはグラフを各習慣をつけた方が何かといいですよ。

分からないときは、視覚的にグラフを書いてみましょう。

異なる2つの異なる解を持ち、両解は負を満たすグラフを書いてみて。紙に直交座標と放物線を書くだけだけど。

考えると、与式=f(x)=(x+2p)^2-4p^2-4p+3としたとき。
異なる2解を持つならば-4p^2-4p+3<0である必要があります。

さらに、解が共に負ならば、グラフを書いていると。

関数f(x)の頂点(軸)より左に存在する解が負であるなら軸x-2p<0である必要があります。

さらにもうひとつの、関数f(x)の頂点(軸)より右に存在する解が負である...続きを読む

Qaを定数とするとき、次の方程式を解け。 a^2x+1=a(x+1) 

aを定数とするとき、次の方程式を解け。 a^2x+1=a(x+1) 

答えは
a≠0 a≠1の時、X=1/a

a=0の時、方程式は、0・X=-1
ゆえに解なし

a=1の時、方程式は、0・X=0
ゆえにすべての実数

となってます。

なんですけど
これに質問があります

1、何でこんな前置きが必要なのか?a≠0 a≠1の時、X=1/a
a≠0の時 と a=0の時と書き始めないのか?

Aベストアンサー

こういうことです。
方程式を解くときに、x = □ の形に式変形するでしょ。
同じようにやります。

a^2 x +1 =a(x+1)
(a^2 -a)x = a-1
a(a-1)x = a-1   ← (#) となります。

ここで、x = と普通は、やってしまいます。
そうするとダメなんです。0 で割ってはいけないというルールがあるから…

そこで、場合分けします。
(1) a ≠ 0 , a ≠ 1 のとき、(#)の x の係数a(a-1) が0 ではないので、
   割り算して  x = 1/a

(2) a = 0 のとき、 0 × (0-1)× x = 0-1
0 × x = -1  となり、 不能で、こんなxはない。解なし。

(3) a = 1 のとき、 1 × (1-1) × x = 1-1
0 × x = 0 となり、 すべての実数x でなりたち、不定。

という風になります。
いいかなあ???

         

Q次の問題を解いてください!

次の二次方程式が重解を持つとき、定数mの値を求めよ、また、そのときの重解を求めよ。

(1) x二乗+2x+m-3=0

Aベストアンサー

ax^2 + bx + c = 0
の判別式:
b^2 - 4ac = 0
が満たされるとき、重解を持ちます。
従って、
2^2 - 4・1・(m - 3) = 0
4 - 4(m - 3) = 0
1 = m - 3
∴m = 4

このmを与式に代入すると、
x^2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)^2 = 0
∴x = -1
従って、mの値は4で、重解は-1です。


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