q=90330絡みの質問です。

    Σ(k=0~n) k * nCk * (N-n)C(n-k) / NCn = n^2 / N
が経験的に正しそうなのですが、証明の仕方がわかりません。
数学的帰納法でいけるかと頑張ってはみてるのですが上手くいきません。

誰か証明してください。

式の背景的意味合いについては
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=90330
をご参照下さい。

A 回答 (2件)

F(N,n)=Σ{k=0~n} nCk (N-n)C(n-k) /NCn


とします。
∀N ∀n F(N,n) =1
であることは証明できそうかな?確率である以上はこうなってなきゃおかしいですよね。
これが示せたら、
E(N,n)=Σ{k=0~n}k nCk (N-n)C(n-k) /NCn

E(N,n)=(n^2)/N
となることは以下のようにやれば良いでしょう。
STEP1
∀N(E(N,0)=0)
∵E(N,0)=0 0C0 NC0 /NC0 = 0
STEP2
∀N (E(N,n)=(n^2)/N)
であると仮定するとき、
∀N (E(N+1,n+1)=((n+1)^2)/(N+1))
である。
∵E(N+1,n+1)=Σ{k=0~n+1}k (n+1)Ck (N-n)C(n+1-k) /(N+1)C(n+1)
=(1/(N+1)!)((n+1)! (N-n)!)^2Σ{k=1~n+1}k /[(n+1-k)!^2 k! (N+1-k)!]
=[(n+1)^2/(N+1)](1/N!)(n! (N-n)!)^2Σ{k'=0~n}1/[(n-k'))!^2 k'! (N-k')!]
=[(n+1)^2/(N+1)]F(N,n)

かくて、F(N,n)=1を示す問題に帰着。いつもイー加減ですいませんねえ。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

そうか、E(N,n+1)じゃなくてE(N+1,n+1)を考えれば良かったんですね。
ところでE(N+1,n+1)を証明するのにE(N,n)を使ってませんよね。ってことは帰納法ではないですね。
F(N,n) = 1については何だか上手く証明できないのですが、「確率だから」という大義名分の下に自明としまっていいんじゃないでしょうか?。
「全ての事象の確率の和は1となる」みたいな定理、ありませんかね?
(というか、もう2項係数はもう見たくもないというのが本音ですが。(笑))
後は納得です。ちっともいい加減じゃないですよ。

おかげで心のもやもやが晴れました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/17 02:02

帰納法だと仰るから、つい吊られちゃいましたが、言われてみれば帰納法不要ですね、これ。


ぅぁやっぱり、イー加減ですいませんでした。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

いやいや、とんでもない。
帰納法は勝手に僕の方が騒いでいただけの話で、
解けた事に意義があるんです。

1人で2日間くらい悶々と苦しんでいたので助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/17 12:15

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Qan=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√

an=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√(2k+1))のとき、
lim[n->∞](bn/an)を求めよ。


次のように考えましたが、行き詰まりました。
  1/√2Σ[k=1->n](1/n)*[1/√{(k+1)/n}]÷ Σ[k=1->n](1/n)*{1/√(k/n)} <(bn/an)<1/√2
左辺の式で、区分求積法から、lim[n->∞]としたとき、分母は2となったのですか。
分子に区分求積法が使える形でないと判断し、行き詰まりました。
1つはこの流れの解法でいいのか。もし、よかったら、このあとの処理はどうなるのか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定積分を利用する方法があります。

anを、定積分∫[1,n+1]dx/√x, ∫[0,n]dx/√x で、
bnを、定積分∫[1,n+1]dx/(2x+1), ∫[0,n]dx/(2x+1) で押さえ、

A≦an≦B
C≦bn≦D

とし、A/D≦an/bn≦B/C
これで、n→∞ とすればいい。

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q2nCnー2nCn-1=(1/n+1)2nCn (カタラン数)が直観的に理解できますか?

(2n)Cnー(2n)C(n-1)=(1/n+1)(2n)Cn (カタラン数)についてです。

式変形では成り立つことが分かるのですが、
直観的に当たり前だと思えません。

この式がなぜ成り立つのかを式変形ではなく、組合せの考え方で
日本語で説明できる方はいませんか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

C (2n,n) - C (2n,n-1) = (1/(n+1))C (2n,n)
ちょい間接的ですが、
C (2n,n-1) = (n / (n+1)) C(2n,n)
を言葉で説明したのでは駄目でしょうか?
2n 人から n-1 人を選ぶ組み合わせの数 C (2n,n-1) を、2n 人から n 人を選ぶ組み合わせの数 C (2n,n) から求めてみる。
2n 人から n 人を選ぶ組み合わせは C (2n,n) 組できるが、各組から誰か一人を除いて n-1 人の組にすると考えると、誰を除くかで各組で n 通り、そうしてできた n-1 人の組み合わせの重複は n + 1 通り(∵ できた n-1 人の一組を固定して考えると、その組について除かれた人が n+1 人いるので)。
∴ C (2n,n-1) = (n / (n+1)) C(2n,n)
∴C (2n,n) - C (2n,n-1) = (1/(n+1))C (2n,n)
ちょっと不完全燃焼。

Qlim(n→∞) Σ(k=1,n) n*(5/6)^n

lim(n→∞) Σ(k=1,n) n*(5/6)^n
この計算はどう解けばいいのでしょうか?
Σの部分の計算ド忘れしてしまいました。
Σr^n=r(r^n-1)/(r-1)
Σn=n(n+1)/2
は覚えてますが、確か中身が掛け算されてるのってΣとΣで分解できないですよね?
つまり、Σf(x)*g(x)≠Σf(x)*Σg(x)ですよね?
計算に躓いてこまってます。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1つの計算法を添付いたします。ご参考になさってください。
但し(この方法を使う場合)厳密には級数の一様収束性を証明する必要があるかもしれません。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報