手元にある相対論の本を眺めて気づいたこと。
物理の本であるはずなのに単位というものが全く出てこないということです。
例えば、E=ɤmc^2とあって、E=ɤmc^2[J]とはなっていません。
そのためか非常に分かりにくいです。
なぜ相対論の本には単位が示されないのでしょうか。
これはどのような事情によるのでしょうか。
また相対論の物理量(ɤ、U、p、f、τ、・・・その他4元○○等)を単位付きで説明しているものがあったら教えてください。

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A 回答 (3件)

>4元速度、4元加速度、4元力についても


>4成分の単位は全て同じで、それぞれm/s、m/s^2、kgm/s^2 

そこは普通の物理と変わらないです。
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この回答へのお礼

よくわかりました。
有難うございました。

お礼日時:2015/12/10 12:52

「どの単位系を使うか」によって単位や係数が変わるからです。



E=mc^2 は、「MKS単位系」と、それに基づく「国際単位系」なら、
「m:kg, c:m/s とすると、E:J 」
となるのであって、「CGS単位系」を使えば、
「m:g, c:cm/s とすると、E:erg [=10^(-7)J ]」
です。
「CGS単位系」は、計量法の改正により、1995年以降は使われません。単なる「取り決め」ということです。
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ひょっとして式に単位が書いて無いのが不満なのでしょうか?



中高生向けの教科書ならともかく、
普通の物理の専門書にはいちいち式に単位は
書いてないと思います。まして相対論の本なら尚更でしょう。

例えば

p=(mcdt/dτ、mdx/dτ、mdy/dτ、mdz/dτ)

で、SI単位系を採用している教科書では
mの単位はkg、cの単位は m/s、tとτの単位は s(秒) とすれば
4元運動量の単位は

kgm/s

であることは明らかでしょう。

特に単位の解説がない教科書はこれでしょう。

シュッツの教科書なら

mの単位はkg、cの単位は 無次元、tとτの単位は m(メートル)
なので

kg

一般相対性理論でよく使われる 幾何単位系を採用する教科書では

mの単位はm(メートル)、cの単位は 無次元、tとτの単位は m(メートル)
なので

m(メートル)

ということになります。
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この回答へのお礼

>p=(mcdt/dτ、mdx/dτ、mdy/dτ、mdz/dτ)
で、SI単位系を採用している教科書では
mの単位はkg、cの単位は m/s、tとτの単位は s(秒) とすれば
4元運動量の単位は
kgm/s
であることは明らかでしょう。


P=(p0, p1, p2, p3) = (ɤmc, ɤmVx, ɤmVy, ɤmVz )
なので4元運動量の4成分の単位は全て同じでkgm/sになりますね。
了解です。

それで確認ですが、同様にして4元速度、4元加速度、4元力についても4成分の単位は全て同じで、それぞれm/s、m/s^2、kgm/s^2 となるのでしょうか。

お礼日時:2015/12/10 11:40

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Q物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
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求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

Aベストアンサー

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

 従って
  x0 = (1/S)∫[0~1] x√(1 - x) dx

 S は 1/4 円なので
   S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
ですね。

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

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 ΔS = √(1 - x)*dx
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 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
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Q相対論 非相対論

相対論では運動エネルギーはm(0)c^2/√(1-v^2/c^2)-m(0)c^2
非相対論では、運動エネルギーは1/2mv^2というのは分かりますが

相対論と非相対論の違いは何ですか?

Aベストアンサー

>相対論と非相対論の違いは何ですか?

 特殊相対論的な運動エネルギーを、光速度より圧倒的に遅いとして近似式で表示すると非相対論的(ニュートン力学的)な運動エネルギーになるということです。ちなみに運動量も同様。

 特殊相対論的な力学は光速度に近いときに効果が顕わになる反面、光速度が問題にならないほど低速のときはニュートン力学に一致していなければなりません。こういうことを「速度ゼロの極限でニュートン力学を含む」と呼んでいて、必須事項です。

 もし特殊相対論が低速でニュートン力学に一致しないなら、相対論は間違いということになるのです。

・ご参考「相対論的運動学」
http://atlas.shinshu-u.ac.jp/Relativistic-Kinematics/Relativistic-Kinematics.html

P.S.

 この他に、重力方程式がある一般相対論では、重力が小さいときはニュートンの重力理論に一致することを示したりします。

Q粒子のエネルギー E=(1/2)mv^2とE=hν

一般的に量子力学などでエネルギーを求める場合、波長λ=h/pよりp=h’k、(h’=h/2π)をE=p^2/(2m)に代入すると、≪E=(h’k)^2/(2m)≫となりますよね。
一方、粒子のエネルギーは【E=hν】とも表されます。速度v、振動数ν、としてv=νλ、λ=(2π)/kより『ν=(kv)/(2π)』となり、またλ=h/pよりmv=h/λとなる。これよりv=(h’k)/mを『』に代入し、さらに【】に代入するとE=(h’k)^2/mとなって、≪≫の式と違います。教科書では≪≫の式ですが、どのような条件で違いが生まれてくるのですか?

Aベストアンサー

> v=νλ
この表式での v は「位相速度」と呼ばれるものです。
量子力学において、波動関数の位相速度は粒子の速度とは一致しないことが知られています。

一方で、「群速度」と呼ばれるものが存在します。
これは、 v_g = ∂ω/∂k (ただしω=2πν)で定義される量です。
いまは ω=E/h'=h'k^2/2m ですから、v_g=h'k/m=p/mとなります。
(一方で位相速度は v=h'k/2mです)

位相速度は、いわば「平面波が移動する速度」です。
群速度は、「波束(空間的に局在した波)が移動する速度」です。
真空中の光などのように位相速度が波長に依らず一定になる場合は位相速度と群速度は一致しますが、
それ以外の場合には位相速度と群速度は異なります。
現実の粒子は波束で表現されると考えられるので、粒子の「速度」に対応するのは群速度の方です。

詳しくは「群速度」で検索してみてください。

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コンプトン効果の式は相対論で導出されますが、光速不変の原理を無視して光を音のドップラー効果と同様に扱い、重心速度を仮定して重心系での運動量が逆向き同じ大きさかつエネルギー保存より衝突後の重心系での運動量の大きさが衝突前の重心系での運動量の大きさと等しいという2式からコンプトン効果の式が導かれたのですが(近似なしで)これの解釈に困ってます。光速不変の原理を無視している時点で誤りであるのはわかるのですが答えが同じになることについて偶然なのでしょうか?

Aベストアンサー

「光速度不変の原理」とは、静止して光を観測しても移動しながら光を観測しても、光の速度は秒速30万キロと測定されると言うものです。
 例えば、時速100キロの電車を静止して観測すると、その速度は時速100キロです。しかし、時速50キロの車で追いかけながら電車を観測すると、電車の速度は時速50キロと測定されます。時速50キロの車に乗って電車と対面する形で観測すると、電車の速度は時速150キロと測定されます。

 移動する車から見た電車の速度を、電車の相対速度と言います。「光速度不変の原理」とは、光の相対速度は秒速30万キロで不変であると言うものです。つまり、光を秒速15万キロで並走しながら観測しても、同速度で光と対面する形で観測しても、光の相対速度は秒速30万キロで変らないというのです。これは、常識に反するため、大変理解しがたいのです。

 ではなぜ、この様な考え方が必要だったのでしょうか。
 電磁気力は、光の一種である電磁波が、電荷を帯びた物質間を往復することで生じます。そして、電磁気力の強さは物質間の距離の2乗に反比例します。つまり、電磁波が物質間を往復するのに要する時間の2乗に反比例するのです。
 電荷を帯びた2つの物質が並走しながら電磁波を交換すると、静止している場合に比べて、電磁波の往復距離は長くなります。即ち、電磁波の往復に要する時間が長くなるので、生じる電磁気力の強さは弱くなる筈です。
 しかし、現実には、静止していても移動していても、生じる電磁気力の強さは変りません。

 この謎を説明するために、アインシュタイン博士は、移動する2つの物質から見た電磁波の相対速度は、秒速30万キロで不変であると考えたのです。これで、静止していても移動していても、電磁波は同じ時間で物質間を移動します。だから、生じる電磁気力の強さは、物質の移動速度にかかわらず不変となると説明しました。

 しかし、幾らなんでも、秒速30万キロの光を秒速15万キロで追いかけても、同速度で光と対面しても、光の速度は秒速30万キロで変らないと言うことは理解出来ません。

 そこで次のような思考実験を行います。
 電荷を帯びた2つの物質を、一本の剛体の両端に取り付けます。そして、この装置を秒速vキロで移動させます。この2つの物質間を電磁波は往復します。
 この時、電磁波の移動距離は、進行方向(横方向)に剛体棒を向けた時静止時の1/(1-v^2/c2)倍、上下左右方向(縦方向)に向けた時静止時の1/√(1-v^2/c^2)倍となります。
 一方、秒速vキロで移動する物質は「ローレンツ収縮」し、横方向に√(1-v^2/c^2)倍短くなります。従って、剛体棒の長さは、横方向に√(1-v^2/c^2)倍短くなるので、電磁波の横方向の往復距離は、静止時の1/(1-v^2/c2)×√(1-v^2/c^2)=1/√(1-v^2/c^2)倍と、縦方向の往復距離と同じとなります。
 この仕組みにより、マイケルソンとモーレーの実験では、縦方向に往復させた光と横方向に往復させた光とが、同時に戻ることが出来たのです。

 従って、秒速vキロで移動する場合、電磁波の往復距離は静止時に比べて1/√(1-v^2/c^2)倍となります。つまり、電磁波の往復時間は、静止時の1/√(1-v^2/c^2)倍となります。

 一方、高速で移動すると物質は動き難くなります。この現象は、粒子を加速器で加速する際に見られます。粒子は光速に近づく程、加速し難くなります。秒速vキロで移動すると、静止時の√(1-v^2/c^2)倍しか動けません。従って、時計は1秒間に√(1-v^2/c^2)秒を刻む様になります。

 こうして、秒速vキロで移動する慣性系では、電磁波の往復に要する時間は、静止時の1/√(1-v^2/c^2)倍×√(1-v^2/c^2)倍=1倍となります。つまり、電磁波の往復に要する時間は、移動速度に関係なく不変なので、生じる電磁気力の強さも移動速度に影響されず不変なのです。

 この様に、現実には往路と復路の光速度は異なりますが、物理学の計算上一々往路と復路の光速度よりそれに掛る時間を計算し、生じる電磁気力の強さを求めることは無駄です。
 生じる電磁気力の強さは、電磁波の往復に要する時間の2乗に反比例するのであり、往復に要する時間は不変なのですから、往路と復路共に光速度不変と仮設して計算します。

 その様に仮設したのがローレンツ変換
①t’= (t-Vx/C^2) / √(1-v^2/c^2)
②x’=(x-Vt)/√(1-v^2/c^2)
③y’= y ④z’= z ⑤C’=C
です。

 物質は質量があるので、上記のとおり高速で移動すると動き難くなりまたローレンツ収縮する為、光速度が不変と測定されます。
 x=光の進んだ距離=Ct㎞、t=光の進んだ時間、V=もう一方の光の速度=C㎞/秒を①と②に代入すると
x'÷t'=C
と光速度不変となります。

 この様に、高速で移動すると時計が遅れ定規が収縮するので、V慣性系では時間と空間の座標が変化するのです。決して、時間と空間そのものが変化する訳ではありません。
時間と空間は絶対であり、光速度は物質が変化するので、不変と観測されるだけです。

 詳細は、下記のホームページを参照下さい。
http://www.geocities.jp/labyrinth125064/kousokudofuhennnogennri1.html

「光速度不変の原理」とは、静止して光を観測しても移動しながら光を観測しても、光の速度は秒速30万キロと測定されると言うものです。
 例えば、時速100キロの電車を静止して観測すると、その速度は時速100キロです。しかし、時速50キロの車で追いかけながら電車を観測すると、電車の速度は時速50キロと測定されます。時速50キロの車に乗って電車と対面する形で観測すると、電車の速度は時速150キロと測定されます。

 移動する車から見た電車の速度を、電車の相対速度と言います。「光速度不変の原理」とは...続きを読む

Q「E=MC^2」の式の単位

E=MC^2の
E:エネルギー
M:質量
C:光の速度
と言うのはどこを見てもすぐ出てくるのですがそれぞれの単位は何でしょうか?
どこを探しても見つからないのですが・・・

Aベストアンサー

普通(少なくとも大学以降の段階では)、物理法則等に関する式は、物理量(を表わす記号)についての式として表わされます。物理量の記号は、(実数等を意味する)数学の代数記号とは別のもので、それ自体に単位量の概念が含まれています。

つまり、例えば 12.3 kgという質量を M で表わすとき、「M=12.3kg」という等式が成り立ち、「M[kg]=12.3」という認識はしません。

このとき、単位のとり方によらず、M は特定の量(質量)を表わすことにご注意下さい。つまり、

M=12.3kg=12300g=1.23*10^4mg=433.9oz=3.28貫

というような等式を認め、どの単位を使っても同じこととするわけです。

単位量は人間の勝手な基準で決めることが出来ます。一方、基本的な物理法則は、単位の選び方によって変わってしまうようでは困ります。物理量の関係式として表わされた法則は、(人間の都合と関係ない)普遍的なものです。E=Mc^2 のような基本的な式はその代表です。

「E=Mc^2」の M と c には、お好きな単位を使った値を代入してかまいません。どうやっても計算しても、結果は(物理量として)一緒のものになります。ただし、計算の際には、単位を含めて計算し、最終段階では単位部分を簡単な形にまとる必要があります。

よく使われる mks単位系の「kg(m^2)(s^-2)」という組み立て単位には「J(ジュール)」という名称が、cgs系の「g(cm^2)(s^-2)」なる単位には「erg(エルグ)」という名称がつけられています。結果は、これらいずれかの単位で表わすように換算しておく方が便利です。

普通(少なくとも大学以降の段階では)、物理法則等に関する式は、物理量(を表わす記号)についての式として表わされます。物理量の記号は、(実数等を意味する)数学の代数記号とは別のもので、それ自体に単位量の概念が含まれています。

つまり、例えば 12.3 kgという質量を M で表わすとき、「M=12.3kg」という等式が成り立ち、「M[kg]=12.3」という認識はしません。

このとき、単位のとり方によらず、M は特定の量(質量)を表わすことにご注意下さい。つまり、

M=12.3kg=12300g=1.23*10^4mg=433.9oz=...続きを読む


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