マンガでよめる痔のこと・薬のこと

f(a+√b)=c+√b
ならば
f(a-√b)=c-√b
は成り立ちますか。
√の中は変わらないので計算後も√bのままでいいでしょうか。

f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
は成り立ちますか。
前回の質問が締め切られてしまいました。
前回回答いただきましたTacosanさま、かなり考えましたがヒントに最後まで答えることが出来ず、申し訳ありませんでした。一定の条件がわかりませんでした。こちらにも是非回答お願いいたします。詳しい回答本当にありがとうございました。

質問者からの補足コメント

  • f(a+√b)=c+√b
    ならば
    f(a-√b)=c-√b
    については
    f(x)=(x-1)/(x^2+1)
    f(x)=(x^2-1)e^x
    f(x)=1/(x+1)
    f(x)=x^2
    f(x)=x^3
    などで成り立ちますが何か関数に条件があるそうです。
    それがわかりません。

      補足日時:2015/12/12 18:11
  • f(a+√b)=c+√b
    ならば
    f(a-√b)=c-√b
    このとき条件はacが有理数
    bが0または正の数


    f(a+bi)=c+di
    ならば
    f(a-bi)=c-di
    このとき条件はabcdが有理数

    条件を考えましたがどうでしょうか。

      補足日時:2015/12/14 23:44
  • 間違えました。bは0または正の数です。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/12/14 23:54

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A 回答 (6件)

反例:


xの一次式
f(x) = x ・(1-√2) + √2

f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
 f(a-√b) = g(a,|-√b|) + (-√b) = g(a,√b) - √b
c = g(a,√b) とすれば
 f(a+√b) = c + √b
 f(a-√b) = c - √b
です。
ですが、 c + √b という形を見ただけでは、√b が「 + (x-a) 」に由来するものなのか、g(a,|x-a|)の|x-a|に由来するものなのか、g()に由来する xに依存しない定数√b なのか、判断できません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
しかし g(a,|x-a|)の意味がよくわかりません。
私は大学受験生でできましたら高校数学のレベルで教えていただけると理解できるかも知れません。申し訳ありませんがよろしくお願いします。

お礼日時:2015/12/12 21:04

例えば a, b, c, d に複素数を許していいなら, 単純な


f(x) = x
でさえ
f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
とはいえなくなるんだがなぁ....
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この回答へのお礼

abcdは有理数でしょうか。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2015/12/14 14:22

f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)


の g(z,w) は、上記の関係を満す、2変数の関数です。

例えば
f(x) = x + 5 なら
x +5 + (x-a) -(x-a)
=(x +5 -x -a) + (x-a)
=(5-a) + (x-a)
と変形できますので、g(w,z)=(5 - w + 0・z) とすれば
f(x) =(5-a) + (x-a)
= g(a,|x-a|) + (x-a)
が成立します。

別に難しい変形をしているわけではありません。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。反例に無理数係数の関数を挙げられていますが
有理数係数のn次式においては成立するとお考えですか。

お礼日時:2015/12/13 19:22

えぇと....



前のときに a, b, c, d に条件が必要って書いたんだけど, 忘れちゃったの?
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この回答へのお礼

質問文にある通りです。条件が分からないため再度質問しています。
係数に無理数を含まない関数かな、くらいしかわかりませんでした。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/13 18:45

#1です。


f(x)=x^2で成り立つということが理解できません。説明してください。
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

(a+√b)^2=a^2+b+2a√b
(a-√b)^2=a^2+b-2a√b
なので成り立つと考えてしまいました。
abは有理数です。
回答ありがとうございました。spring135さまのお考えもお聞かせください。

お礼日時:2015/12/14 21:34

自分でf(x)の具体例を作って考えてみたらどうですか。

それができないならこんな話はナンセンスです。
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この回答へのお礼

spring135さまにはいつもお世話になっております。
今回も回答ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/12 18:00

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