自然数nが次のように素因数分解出来るとする。
n=π[1~n](p_i)^(a_i) (p_i;素数、a_i;自然数)
このとき、ν(n)=π[1~n]((a_i)+1) ・・・各指数の値+1をすべて掛けたもの。

このとき、
π[d|m]d=m^(ν(m)/2) を示せ。(π[d|m]dは、mの約数dすべての積。)

この問題を教えてください。

A 回答 (2件)

m の約数を小さい順に並べる



1, a, b, ... , m

大きい順に並べる

m, ... , b, a, 1

かけると

m, m, m, ... , m

になる。
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最後の「このとき」のあとにある式を証明しろ, って問題のようだよ.

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nを正の整数とする。

∫[-π,π]|sin nx|dxを求めよ。

答)4

この問題の解き方が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

まず、関数は偶関数なので-パイからパイの積分は2倍の0からパイの積分になります。
∫[-パイ,パイ]|sin nx|dx=2∫[0,パイ]|sin nx|dx、これをx=y/nと変数変換すると
=(2/n)∫[0,nパイ]|sin y|dyとなり、ここで
∫[0,nパイ]|sin y|dy=(0からパイの積分)+(パイから2パイの積分)+(2パイから3パイの積分)・・・
+(n-1パイからnパイの積分)となりますが、]|sin (y+パイ)=|-sin y|=|sin y|から
|sin y|は周期パイの関数なので、上の各区間でその関数のグラフはすべて0からパイの区間の
グラフとおなじになります。だから上の各区間の積分も∫[0,パイ]|sin y|dy=∫[0,パイ]sin ydy=2に
等しく、求める積分は(2/n)×2n=4です。

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まわりくどい説明になりますが、
通常、事象Aが起こる確率をP[A]と表しますね。
ここで、事象Aを「n回目に偶数になる」としたときの様に、試行回数目で表した方がよい場合、「n回目に偶数になる確率をP[n]」と回数目の数nで表した方がわかりやすいですよね?
ですから、n+1回目の確率もP[n+1]と表現できる(している?)のです。
通常、「偶数になる確率」のように、何回目だろうとその確率は変わらない場合はP[n]=P[n+1]となっています。
おそらく質問者さんが腑に落ちないのは、
「n回連続」の様にn回目とn+1回目が等しくない場合でもいいの?
ということだと思いますが、別に構いませんP[n]とP[n+1]が異なるだけです。

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Aベストアンサー

(1) 2次元ユークリッド平面上のベクトルの話だという限定を付けないと、長方形にはならない。(3次元なら、たとえば原点に重心がある正四面体の頂点がα,β,γ,δでも条件を満たすでしょ。)
(2) |α|=0の場合は例外だし、α,β,γ,δのうちに同じものが含まれる場合も例外。
ということに注意した上で
(3) |α|=|β|=|γ|=|δ|=1の場合に証明すれば、他の場合は自明なので、=1の場合だけ考える。
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これが全くわかりません!
教えてください…

Aベストアンサー

cosxのx=π/4の周りのテイラー展開
cosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 + {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx)  
(0<θ<1)

x1=0 x2=π/4 x3=π/2でのcosxの値から0≦x≦π/2でのラグランジュ補間式f(x)
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Aベストアンサー

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Σ[k=1→n]1/k(k+1)=(1/1 - 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+…+{1 / (n-2) - 1/(n-1)}+{1/(n-1) - 1/n}+{1/n - 1/(n+1)}
=1- 1/(n+1)
与式より1 - 1/(n+1)<9/10を計算するとn<9
これを満たす最大の自然数は8
計算ミスなどあれば訂正しておいてくださいね。

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