Fxyz=x^3+z^3+(x+z)yとするとき
(1)x、y、zの置換を行って得られるすべての相異なる整式をおしえてください。
(2)それらの和を基本対称式Si(i=0,1,...,n)の整式で表しかたをおしえてください。

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A 回答 (1件)

(1)


巡回置換(順番に回るように入れ換える置換)
/x y z\
\y z x/
によって
(これはxをyにyをzにzをx置き換える置換のことです。)

F(x,y,z) = y^3 + z^3 + (x + y) z

という整式が得られます。(単に文字を書き換えるだけです。)
同様に残りの巡回置換
/x y z\
\z x y/
および3つの互換(2つの要素を入れ換える置換)
/x y z\
\y x z/
/x y z\
\z y x/
/x y z\
\x z y/
によって合計6つの整式が(最初のオリジナルの式も含めて)得られます。

(*)注意していただきたいこと。この質問の場合は異なる置換には異なる整式が対応して
いますが、一般にはそうとは限らないことです。例えば

F(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3

であれば3つ文字をどう入れ換えても式は変わりませんから
>x、y、zの置換を行って得られるすべての相異なる整式。
は元の式ただ1つしかありません。

また
F(x,y,z) = (x+y)z
であれば
互換
/x y z\
\y x z/
は式の値を変えないし、互換
/x y z\
\x z y/
による結果と巡回置換
/x y z\
\z x y/
による結果は同じになりますから、本質的に異なるものは3つしかありません。

(2)
>それらの和を基本対称式Si(i=0,1,...,n)の整式で表しかたをおしえてください。
ってのはどういう意味でしょう。それらの和とは上で求めた6つの式の和という意味でしょうか
また3変数なら基本対称式はxyx, x+y+z, xy + yz + xz の3種類ですがそれで表すということで
よろしいでしょうか。

上で求めた6つの式の和は
4(x^3 + y^3 + z^3)+ 2(x+y)z + 2 (y+z)x + 2 (x+z)y
= 4 [ (x^3 + y^3 + z^3) + (xy + yz + xz)]
となります。あとは
x^3 + y^3 + z^3を基本対称式で表せばOKですね。
x^3 + y^3 + z^3を基本対称式で表す方法は有名な因数分解の公式
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ( x + y + z )(x^2 + y^2 + z^2 -xy -yz -xz )
を変形すれば簡単に出来るのでご自分で考えてみて下さい
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Q≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3

≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3=8…(2)を満たす。
(1)x^2+y^2+z^2をzを用いて表せ。

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3
の関係式を使ってみようかな。。。
って思ったんですが…できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。
x^2+y^2はx+yとxyで表せますね。
だから目標はxyをzで表すことです。

(1)が使えるように(2)を変形してみる。
(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=8
(1)を代入してみる。
2^3-3xy*2+z^3=8
xy=z^3/6
となった。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Qx>0,y>0,z>0 で、x^2+y^2+z^2=a^2のとき、

x>0,y>0,z>0 で、x^2+y^2+z^2=a^2のとき、
xy+yz+zxの最大値を求めよ。

コーシーシュワルツの不等式を使うとでるとおもうが、
別解での解答はどうなるのか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どういう風にシュワルツを使うのか。。。。。w
そんな仰々しいものを持ち出さなくても、教科書に載ってる不等式(絶対不等式)で用が足りる。



x、y、zは実数から、x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx で終わり。
等号は、x>0,y>0,z>0から、x=y=z=a/√3の時。

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Qx, y∈R がx^2+xy+y^2=6をみたしながら動くときz=x+yの取り得る値の範囲を求めよ。

x∈R より、判別式Dは実数解を持つ(D≧0)を利用しました。
y=z-xをx^2+xy+y^2=6に代入
x^2+x(z-x)+(z-x)^2-6=0
x^2-zx+z^2-6=0
題意より
D=z^2-4(z^2-6)≧0
3z^2-24≦0
z^2≦8
∴ -2√2≦z≦2√2

と解いたのですが、説明不足でしょうか?
不自然な点、補足した方がよい点がをご教授下さい。

Aベストアンサー

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2√2≦z≦2√2 となる。

と解釈される可能性があります。(文章になっていないので、読まずに0点という可能性さえある。)

こう書き直してみると、
-2√2≦z≦2√2 は、実数 x が存在するための必要条件に過ぎないこと、
実数 y が存在するかどうかに関して何も言っていないこと、
の二点について、十分性の怪しい記述になっています。

判別式≧0 であれば実数解 x が存在し、y=z-x によって y も実数である
ことを一言書いておくほうが好いでしょう。
そんなこと言うまでもない、と思ったとしても。

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2...続きを読む


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