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質問文が分かりづらいので書き直しました。

cos^2(x+(π/3))+cos^2(x+(2π/3))+cos^2(x+π)
を出来るだけ簡単な方法で解いてください。
答えは3/2です。

前回読みにくい質問文でしたのにお答えいただきましたspring135さまありがとうございました。前回も大変助かりました。

質問者からの補足コメント

  • いずれでてきそうな疑問点を先に書いておこうと思います。

    Σ[k=1~n]cos(x+2πk/n) は単位円の円周を等分割する点のx座標の和なので 0

    (1) Σ[k=1~n]sin(x+2πk/n) は単位円の円周を等分割する点のy座標の和なので 0 。


    (2) Σ[k=1~n]cos(x+πk/n) は単位円の円周を等分割する点のx座標の和なので 0。
    πの前の2を消した形

    (3) Σ[k=1~n]sin(x+πk/n) は単位円の円周を等分割する点のy座標の和なので 0。
    πの前の2を消した形

    (1)(2)(3)は成り立つのかも知りたいです。

      補足日時:2015/12/29 07:33
  • すみません。(1)はtknakamuriさまの回答文中に成り立つとありました。
    ありがとうございました。

      補足日時:2015/12/29 07:38
  • とんでもないミスをしていました。正しくは下記です。
    (cos(2πk/n)、sin(2πk/n)) (k=1~n)

    (cos(2π/4)、sin(2π/4))
    (cos(4π/4)、sin(4π/4))
    (cos(6π/4)、sin(6π/4))
    (cos(8π/4)、sin(8π/4))

    (cos(π/2)、sin(π/2)) 90度(0,1)
    (cos(π)、sin(π) 180度(-1,0)
    (cos(3π/2)、sin(3π/2)) 270度(0,-1)
    (cos(2π)、sin(2π)) 360度(1,0)

    よって0です。これで4のときはわかりました。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/12/29 08:32

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A 回答 (8件)

(cos(a))^2=(1/2)+(1/2)cos(2a)


Σ[k=1~n]cos(x+2πk/n) は単位円の円周を等分割する
点のx座標の和なので 0

(cos(x+π/3)^2+(cos(x+2π/3))^2+(cos(x+π))^2
=(3/2)+(1/2){cos(2x+2π/3)+cos(2x+4π/3)+cos(2x+2π)}=3/2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
しかしΣ[k=1~n]cos(x+2πk/n) は単位円の円周を等分割する点のx座標の和なので 0
ここがわかりませんでした。是非補足お願いします。

お礼日時:2015/12/28 09:11

いや、そうじゃなくて、これ


cos(2x+2π/3)+cos(2x+4π/3)+cos(2x+2π)=0
はちゃんと計算してみるといいって話。xは邪魔にならない。sinsinも邪魔にならない。cosx=aとでも置けば、結局cos一つずつだけ残る。
やってみたことが、後に何かに生きるかもしれないので、ちゃんと手を動かしてみることです。もうやったんならいいけれど。

> 回転対称だから
> ベクトルが入れ替わるだけで和は変わりません。

なるほど。そりゃそうですね。
n=5を解いていて、結局解らずアメリカかどこかのヤフーに書いてあったのを見たんですが、ぶったまげました。(笑)
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この回答へのお礼

no4のお礼に普通のやり方は書きました。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/30 01:04

>これで4のときはわかりました。



n=8や6も図に描いてみると面白いと思います。

角度にxを加えても図がxだけ傾くだけです。

4の時は反対方向のベクトルが対になるので和は(0,0)になります。
これはnが偶数でも同じ。

nが奇数の場合も含める場合、考え方にひと
工夫要ることは既に書きましたが
そもそも、回転対称になっているベクトル群の和が
特定の方向を向くなんてことが無いことは
直感的に明らか。後はそれに理屈を付けるだけです。
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この回答へのお礼

ベクトルが単位円の中心から伸びるので
nが8のときはアスタリスク❇︎のような形になりcosもsinもすぐベクトルの足し算により0になることがわかりました。
nが4のときもベクトルは+のような形になるので瞬時にわかるのですね。
ものすごくよくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/30 05:28

>(1)(2)(3)は成り立つのかも知りたいです。



(1)は証明済み。
(2)、(3)は成り立たないないです。
n=2とかで計算すれば直ちに分かります。
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この回答へのお礼

周りでもここまで時間短縮できる解答を考えられた人はいません。
質問して良かったです。素晴らしい解答です。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2015/12/30 01:01

>幾何的に自明って所は、私も解りません。



(cos(2πk/n)、sin(2πk/n)) (k=1~n)

というベクトルと全て足したものをaとしましょう。
全ペクトルを原点を中心に2π/nだけ回転させればaも2π/nだけ
回転するはず。
しかしべクトル群は角度2π/nに対して回転対称だから
ベクトルが入れ替わるだけで和は変わりません。

回転しても変わらないベクトルは(0,0)だけです。

他にも正多角形の辺を使うという証明方法も有ります。
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この回答へのお礼

補足しました。
自分で解いたときは10行以上かかりしかも間違いましたがtknakamuriさまのお力添えにより3行で解けるようになりました。本当にすごいです。
ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/29 09:15

倍角半角和積積和、全部忘れたから何のことやら判らないけれど、


cos(2x+2π/3)+cos(2x+4π/3)+cos(2x+2π)=0
のことであるなら、そのまま計算してみれば良い。変換公式があるでしょう。
試験であるなら、=0を知識で解こうというのは無理があります。
知っていれば良いけれど、知らなくても解けるようになっているはずです。
手を動かして解いてみれば、どういう様子か判れば、応用が広がるでしょう。

#単位円に描き込んでいくと、奇数に分割しても上下対称にはなるからsinsinは全部消える。
coscosがどうなるのか....。まぁcos(x)=aとでも置けば、あとはcos?の和になるだけで...ブツブツ...。
幾何的に自明って所は、私も解りません。偶数割なら一発で理解できますが、奇数割りだと。
まぁそれでも3分割は楽ですよ。
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この回答へのお礼

変換公式を使った解き方は以下二通りあがっています。

(cos^2(x+(π/3))+(cos^2(x+(2π/3))+(cos^2(x+(3π/3))
(1+cos(2x+(2/3)π))/2+(1+cos(2x+(4/3)π))/2+(1+cos(2x+2π))/2
加法定理を使って
=(1/2)(3+cos2xcos2/3π-sin2xsin2/3π+cos2xcos4/3π-sin2xsin4/3π+cos2xcos2π-sin2xsin2π)
=(1/2)(3+(-1/2)cos2x+√3/2(-sin2x)+cos2x(-1/2)+sin2x(√3/2)+cos2x-0)
=(1/2)(3+0)

この解き方で自分は解きました。さらにこれは模範解答と同じでした。
(念のため出典を明記します。東京女子医大教学社赤本解答解説より引用。)

前回関連の質問に回答いただきました、spring135さまの解答は私のものより簡略化されています。以下spring135さまの回答より引用。
S=(cos^2(x+(π/3))+(cos^2(x+(2π/3))+(cos^2(x+(3π/3))
cos(x+π)=-cosx
cos(x+(2π/3))=cos((x-π/3)+π)=-cos((x-π/3)

S=cos^2x+cos^2(x+π/3)+cos^2(x-π/3)
=cos^2x+[cosxcos(π/3)+sinxsin(π/3)]^2+[cosxcos(π/3)-sinxsin(π/3)]^2
=cos^2x+2cos^2xcos^2(π/3)+2sin^2xsin^2(π/3)
=cos^2x+2cos^2x(1/4)+2sin^2x(3/4)
=cos^2x+cos^2x(1/2)+sin^2x(3/2)
=(3/2)[cos^2x+sin^2x]
=3/2

まだ簡略化できる部分があればお力添え下さい。回答ありがとうございました。

お礼日時:2015/12/29 06:29

>幾何的に自明のところ考えたいのですがxが邪魔です。



(cos(2πk/n)、sin(2πk/n)) (k=1~n)

というベクトルをー点を始点として描いてみることから
始めてみましょう。最初はn=4が良いでしょう。
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

(cos(2πk/n)、sin(2πk/n)) (k=1~n)

(cos(2πk/1)、sin(2πk/1))
(cos(2πk/2)、sin(2πk/2))
(cos(2πk/3)、sin(2πk/3))
(cos(2πk/4)、sin(2πk/4))

(cos(2πk)、sin(2πk)) 360度
(cos(πk)、sin(πk)) 180度
対称

(cos(2πk/3)、sin(2πk/3)) 120度
(cos(πk/2)、sin(πk/2)) 90度
120度と90度に対称性が見出だせません…

間違っているところを教えて下さい。

お礼日時:2015/12/29 06:52

>Σ[k=1~n]cos(x+2πk/n) は単位円の円周を等分割する点の


>x座標の和なので 0

幾何的な対称性を考えればムチャクチャ自明なんですが
数学的に厳密に証明するには色々な方法があります。

オイラーの定理を使うのが簡単。
複素数がいやなら、回転行列を使うのも良いです。

S=e^(ix)∑[k=1~n]e^(i2πk/n)
S(1-e^(i2π/n))=
e^(ix){e^(i2π/n)-e^(i2π(n+1)/n)}=0 なので
S=0

S=Σ[k=1~n]cos(x+2πk/n) + iΣ[k=1~n]sin(x+2πk/n)
なので
Σ[k=1~n]cos(x+2πk/n)=0
Σ[k=1~n]sin(x+2πk/n)=0
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この回答へのお礼

ありがとうございます。素晴らしい回答です。
幾何的に自明のところ考えたいのですがxが邪魔です。
どう考えたらいいですか。

お礼日時:2015/12/28 11:11

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