マクローロンの定理を使った近似値計算の方法について質問がございます。

文系の大学1年生です。
添付させていただいた資料で、sinの計算とcosの計算で質問がございます。
(すみません、cosの方の資料が添付できませんでした。。)

まずsinの計算なのですが、
これはn=1の場合ですが、(赤で囲んだ部分)f3(0.5)=0.5−(0.5)3乗/3! となっております。
これのどこがわからないかというと、「なぜ0.5−(0.5)3乗/3!」となるのかが
わかりません。例えばn=2だったなら、3だったならどうなるのか。。。

教えていただきたく思います。

cosも同じ部分が疑問なのですが、n=2のとき、
f4n(0.2)=1−(0.2)2乗/2+(0.2)4乗/4!となっています。
これも「なぜ1−(0.2)2乗/2+(0.2)4乗/4!」なのか、
例えばn=3,4の時はどうなるのか。。。を教えていただければ幸いです。

「マクローリンの定理を使った近似値計算で質」の質問画像

A 回答 (5件)

はあ?


マクローリン定理が分かってないですよ。
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!・・・
cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!・・・
このxに数値を代入しただけですよ。
分かりますか? sinにはx^2, x^4の項はありません
cos の x, x^3の項はありません。
もっと勉強しましょう。
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質問に答える前に、何をしているのか整理しておきます。



マクローリンの定理によれば

sin x = sin(0) + sin(π/2) x + sin(2π/2) x^2 + sin(3π/2) x^3 /3! + … + sin(mπ/2) x^m /m! + R(m,x)
R(m,x) = sin(cx+(m+1)π) x^(m+1) /(m+1)! , 0<c<1

と、こんな感じになります。

x = 0.5 とおくと

sin(0.5) = sin(0) + sin(π/2)・0.5 + sin(2π/2)・0.5^2 + sin(3π/2)・0.5^3 /3! + … + sin(mπ/2)・0.5^m /m! + Rm
Rm = sin(0.5c+(m+1)π)・0.5^(m+1) /(m+1)! , 0<c<1

です。

sin(0.5) = 近似値 + Rm

という形で書かれています。Rm は誤差ですが、この絶対値をこれよりずっと易しい式で評価します。

|Rm| < |0.5|^(m+1) /(m+1)!

この式の右辺を Hm とすると、Hm は単調減少です。つまり、m が大きくなれば誤差の範囲は絞れていくということです。

さて、sin(kπ/2) は k が偶数のとき0になるので、近似値の項はひとつ置きに消えます。これによって次のようなことが起こります。

m=3
sin(0.5) = 0.5 + 0.5^3 /3! + R3 、|R3| < H3 = 0.00260416666667...

m=4
sin(0.5) = 0.5 + 0.5^3 /3! + R4 、|R4| < H4 = 0.00026041666667...

つまり、近似値は同じなのに奇数次数で切るよりも次の偶数次数で切る方が誤差の範囲をより絞れるということが起きるのです。そういうわけなので、近似値を偶数次で切ることを採用して

sin(0.5) = 0.5 + 0.5^3 /3! + … + sin((2n+2)π/2)・0.5^(2n+2) /(2n+2)! + R(2n+2)
R(2n+2) < |0.5|^(2n+3) /(2n+3)!

にするほうが優れているわけです。

練習問題は、H(2n+2) < 0.001 を満たす最小の n を見つけて、最小の計算量で、誤差を千分の一に収める近似値を求めるものでしょう。


それで、質問(一部無視)の答えですが、こうなります。

n=2
sin(0.5) = 0.5 - 0.5^3 /3! + 0.5^5 /5! + R6
|R6| < H6 = 0.0000015500992…

n=3
sin(0.5) = 0.5 - 0.5^3 /3! + 0.5^5 /5! - 0.5^7 /7! + R8
|R8| < H8 = 0.0000000053822…



cos(0.2) も同様で

cos x = 1- x^2 /2! + x^4 /4! - … + cos(nπ) x^(2n) /(2n)! + R(2n+1,x)
R(2n+1,x) = cos(cx+(n+1)π) x^(2n+2) /(2n+2)! , 0<c<1

を使い、
R(2n+1) = cos(0.2c+(n+1)π) 0.2^(2n+2) /(2n+2)!
H(2n+1) = 0.2^(2n+2) /(2n+2)!
とおくと、こちらも n が大きくなるにつれて H がどんどん小さくなっていきます。

n=3
cos(0.2) = 1 - 0.2^2 /2! + 0.2^4 /4! - 0.2^6 /6! + R7
|R7| < H7 = 0.000000000063492063492063…

n=4
cos(0.2) = 1 - 0.2^2 /2! + 0.2^4 /4! - 0.2^6 /6! + 0.2^8 / 8! + R9
|R9| < H9 = 0.000000000000028218694885...

cos(0.2) = 近似値 + R の形で書いてます。
計算ミスがあるかもしれないロン。
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マクローリン展開は、関数を



f(x)≒fn(x)=a0+a1・x+a2・x^2+a3・x^3+a4・x^4+ ・・・an・x^n

というように多項式で近似するものです。

関数fのm階微分を f'[m](x) で表わすとすると
f=fnとすれば

f'[m](0)=m!am

なので

f(x)≒∑[k=1~n](f'[k]/k!)x^k

n=3 までの近似では

f'[0](0)=0
f'[1](0)=1
f'[2](0)=0
f'[3](0)=-1

なので

f(x)≒x-x^3/3!

と言うのが基本的な考え方。

以上の説明は厳密さがまるでありませんが、
発想はこんなものです。

文系なら十分かも。

尚 n=1 ってなんだか不明です。
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要するにマクローリン展開がわかってませんね。



y=f(0)+Σ(k=1,n)[f^k(0)/k!]x^k+[f^(n+1)(ξ)/(n+1)!]x^(n+1) (0<ξ<x)   (1)

ここでf^k(0)はf(x)のk階微分のx=0における値を示します。

最後の項はここでは無視していいでしょう。

f(x)=sinxのとき、f^k(0)はkが偶数の時0、奇数の時±1(交互に現れます。)、f(0)=0です。整理すると(1)は

y=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+.....            (2)
となります。

>これはn=1の場合ですが、(赤で囲んだ部分)f3(0.5)=0.5−(0.5)3乗/3! となっております。
これのどこがわからないかというと、「なぜ0.5−(0.5)3乗/3!」となるのかが
わかりません。例えばn=2だったなら、3だったならどうなるのか。。。

あなたの記法は(1)においてn=3まで取った場合をfn(0.5)と書いています。よって

fn(x)=f(0)+Σ(k=1,n)[f^k(0)/k!]x^k
簡単に言うと(2)では2項目まで取っています。

(1)の導き方はf(x)が多項式で表せると仮定して、その多項式の係数を尾部を使って求めているということです。

f(x)=a0・x+a1・x+a2・x^2+a3・x^3+....

容易に

f(0)=a0
は解りますね。

両辺を微分すると
f'(x)=a1+2a2x+3a3x^2+...

a1=f'(0)

がわかりますか
このようにして係数a0,a1,a2,....を求めたものです。


cosxも全く同様で

y=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+.....

となります。
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マクローリン展開は、理解していますか?

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QsinXとcosXの近似値

大学のレポートでテーラーの近似値に関するレポートを書くことになりました。
高校のときに「近似値」をすらっと目を通した程度なので、あまりよくわかってないのが現状です(汗

1.近似値とは具体的にどういうものか?
2.概数との違い
3.sinXとcosXを3次式に近似する

以上の3点を教えて頂けないでしょうか?
参考文献やウェブサイトを捜しましたがイマイチよく分かりませんでした

Aベストアンサー

3.

sin x = x - (1/2/3) x^3 + (1/2/3/4/5) x^5 - ...
cos x = 1 - (1/2) x^2 + (1/2/3/4) x^4 - ...

ですよね.よって,3次までの近似は,

sin x は x - (1/2/3) x^3
cos x は 1 - (1/2) x^2

になります.
(自信あり)
------------------------------------------------------------
数学・物理・化学・生物はそこそこできる人のつもりですが,
概数と近似値の違いはそんなにないような気がします.
あえていうなら,
概数は,10進数(その他特定の表記方法で)でキリのいい数字,
近似値は,ある関係に2つ以上の値を近似式であらわした結果得られる数.
(必ずしもキリのいい数字にはならない)
ということではないかと思います.
(自信あり,確信なし)

Qテイラーの定理→マクローリンの定理

テイラーの定理
f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+{f''(a)/2!}(b-a)^2+・・・・・・+{f^(n-1)(a)/(n-1)!}(b-a)^(n-1)+{f^(n)(c)/n!}(b-a)^nにおいて
a=0,b=x,c=θxとすると、マクローリンの定理
f(x)=f(0)+f'(0)x+{f''(0)/2!}x^2+・・・・・・+{f^(n-1)(0)/(n-1)!}x^(n-1)+{f^(n)(θx)/n!}x^n
と教科書にかいてあります。

その下に、いろいろな説明があって
sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-・・・・・+{(-1)^(m-1)/(2m-1)!}x^(2m-1)+{(-1)^m sinθx/(2m)!}x^2m
cosx=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-・・・・・+{(-1)^m/(2m)!}x^(2m)+{(-1)^(m+1) cosθx/(2m+2)!}x^(2m+2)

とあるのですが、sinxについての一番最後の項は分子(2m+1)!、xの次数は2m+1だと思うのですが、これは間違いですか?

テイラーの定理
f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+{f''(a)/2!}(b-a)^2+・・・・・・+{f^(n-1)(a)/(n-1)!}(b-a)^(n-1)+{f^(n)(c)/n!}(b-a)^nにおいて
a=0,b=x,c=θxとすると、マクローリンの定理
f(x)=f(0)+f'(0)x+{f''(0)/2!}x^2+・・・・・・+{f^(n-1)(0)/(n-1)!}x^(n-1)+{f^(n)(θx)/n!}x^n
と教科書にかいてあります。

その下に、いろいろな説明があって
sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-・・・・・+{(-1)^(m-1)/(2m-1)!}x^(2m-1)+{(-1)^m sinθx/(2m)!}x^2m
cosx=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-・・・・・+{(-1)^m/(2m)!}x^(2m)+{(-1)^...続きを読む

Aベストアンサー

sinx = x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-・・・・・+{(-1)^(m-1)/(2m-1)!}x^(2m-1)
+{(-1)^m sinθx/(2m)!}x^2m
・・のsinの剰余項は誤りと思う・・!

剰余項をRnとするとn = 2m-1の時のマクローリン展開した時のsinxの剰余項Rn(=R2m)は

Rn = {(-1)^m・cos(θx)/(2m+1)!}・x^(2m+1)

Q近似値と無理数・有理数の関係

近似値の中には無理数を有理数で代用するものもあるのでしょうか。
0.33333・・・を0.33で打ち切る場合と同じことなのでしょうか。近似値としてしか表現できないものもあるように思うのですが。

Aベストアンサー

どういう答えを期待しているのかわからないんですが、連想したことを書きます。
うろ覚えですが「はじめての数論」という本で読んだことです。

正の無理数αに対して
自然数の組(x,y)と|x-y*α|について考えます
細かい説明はしませんが引き出し論法により
  |x-y*α|<1/y
となる(x,y)が無限に存在します。
少し変形すると
  |x/y-α|<1/y^2
となる(x,y)が無限に存在し、これは十分大きな(x,y)について最適な組を探し計算すれば、|x/y-α|は十分小さくなるということです。
このときx/yがαを有理数で近似したものであることがわかると思います。

この場合目的の無理数と近似値の距離|x/y-α|の上限がわかっていますが。では下限を考えるとどうでしょう。
たとえば
  1/y^3<|x/y-α|
が示されれば、有理数は無理数にある程度までしか近づけないということになります。
事実としてαが代数的数ならば
  |x/y-α|<1/y^3
が成り立つ可能性のある自然数の組(x,y)は有限個であることが証明できます。
ですからそのような可能性のある特別な場合以外では
  1/y^3<|x/y-α|
となります。

これはその数の性質によって決まることですが。
超越数の中には
  |x/y-α|<1/y^4
のように、よい近似を無数に得られるものもあります。


つまり、有限の大きさの自然数の組を用いて無理数を近似する場合には、その近似値の精度には限界があるってことですね。

どういう答えを期待しているのかわからないんですが、連想したことを書きます。
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細かい説明はしませんが引き出し論法により
  |x-y*α|<1/y
となる(x,y)が無限に存在します。
少し変形すると
  |x/y-α|<1/y^2
となる(x,y)が無限に存在し、これは十分大きな(x,y)について最適な組を探し計算すれば、|x/y-α|は十分小さくなるということです。
このときx/yがαを有理数で近...続きを読む

Qテイラーの定理(マクローリンの定理)の問題について

テイラーの定理でa=0のとき(マクローリンの定理)の問題について
問題を解いてみたのですが、いまいち自信がありません。
わかるかた、ご指導のほど、よろしくお願いします。

特に、問題文でn=3と微分する回数が指定されていて、かつ
xの次数が3より大きいケースの解き方について、
解き方があっているかご指南いただければと思っております。

【問題】
次の関数に「マクローリンの定理」を適用せよ。
ただし、n=3とする。

(1) x^4
f(x)=x^4
f(0)=0
f'(x)=4*x^3=4x^3
f'(0)=0
f''(x)=3*4x^2=12x^2
f''(0)=0
f'''(x)=2*12x=24x
f'''(0)=0
上記の値をマクローリンの定理に適用して、
f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x)
f(x)は4次だが、問題文よりn=3の指定があるので、
n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。
f(x)=0+0x+(1/2)*0x^2+(1/6)*0x^3
=0

(2) x^5
f(x)=x^5
f(0)=0
f'(x)=5*x^4=5x^4
f'(0)=0
f''(x)=4*5x^3=20x^3
f''(0)=0
f'''(x)=3*20x^2=60x^2
f'''(0)=0
上記の値をマクローリンの定理に適用して、
f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x)
f(x)は5次だが、問題文よりn=3の指定があるので、
n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。
f(x)=0+0x+(1/2)*0x^2+(1/6)*0x^3
=0

(3) √(x+1)
f(x)=√(x+1)=(x+1)^(1/2)
f(0)=1
f'(x)=(1/2)*(x+1)^(-1/2)=1/{2√(x+1)}
f'(0)=(1/2)
f''(x)=(-1/2)*(1/2)*(x+1)^(-3/2)=-1/{4√(x+1)^3}
f''(0)=-(1/4)
f'''(x)=(-3/2)*(-1/4)*(x+1)^(-5/2)=3/{8√(x+1)^5}
f'''(0)=(3/8)
上記の値をマクローリンの定理に適用して、
f(x)=f(0)+(1/1!)f'(0)x+(1/2!)f''(0)x^2+(1/2!)f'''(0)x^3+…+Rn(x)
問題文よりn=3の指定があるので、
n=3で計算を打ち切り、f'''(0)までで計算する。
f(x)=1+(1/2)x+(1/2)*(-1/4)x^2+(1/6)*(3/8)x^3
=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3

この解き方であっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。

テイラーの定理でa=0のとき(マクローリンの定理)の問題について
問題を解いてみたのですが、いまいち自信がありません。
わかるかた、ご指導のほど、よろしくお願いします。

特に、問題文でn=3と微分する回数が指定されていて、かつ
xの次数が3より大きいケースの解き方について、
解き方があっているかご指南いただければと思っております。

【問題】
次の関数に「マクローリンの定理」を適用せよ。
ただし、n=3とする。

(1) x^4
f(x)=x^4
f(0)=0
f'(x)=4*x^3=4x^3
f'(0)=0
f''(x)=3*4x...続きを読む

Aベストアンサー

> この解き方であっているか、
合っています。

n=3では
(1),(2)は
f(x)=0+ ...
f(x)=0+Rn(x)
余剰項Rn(x)つまり「...」の部分がx^4, x^5
となるということです。

(3)は
f(x)=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3 + ...
「...」の余剰項が出ます。
いずれも展開の範囲はx^3の項までと考えていいでしょう。

Qこれは近似値といえる?

近似値のことで聞きたいのですが、
長方形があって、縦6×横4で24センチだとします

測定で誤差が生じて縦5.5×横4.5で24.75ならばそれは近似値といえますか?

Aベストアンサー

 近似値というのは、計算の都合上、途中で丸めた数値を言うのであって、測定値から計算して得られた値については、近似値とは言わないように思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%80%A4

 真値が24cm^2で、測定値から24.75cm^2を得たというのであれば、それも測定値というように思います。

 ところで、測定値が 5.5cmと4.5cm だったとしたら、有効数字は2桁なので計算結果も2桁にして、25cm^2 としないと意味のない桁の数字を書くことになってしまいます。
 5.5cmと4.5cm にも誤差が付きまとっています(そもそも精度が悪すぎて1桁程度しか有効に測定できていません)ので、24.75cm^2 としたところで大して意味をもたないでしょう。

Q近似値はマクローリン展開すれば良いのですか?

(1)√1-x

(2)1/1+x

展開したのが答えなんでしょうか?

Aベストアンサー

x=0の近傍ならマクローリン展開でOKですが、近似値ということなので一次まで出せばよいかと

Q 数学の近似値の値について。

 数学の近似値の値について。
 例えば√6とした時(→は2乗という意味です)、 
 2→4
 √6→6
 2分の5→4分の25
 すなわち、
 4<6<4分の25
 2<√6<2分の5
 (√6は2と2.5の間)
 
 とあるんですが、いまいちよくわかりません。
 具体的に言うと、
 (1)小数ではなく分数で表されているところ。どうやったら分数→小数(逆も然り)になるのか。
 (2)他に、√2の近似値や√3の近似値などを求める時は、どんな風になるのか。
 (*(2)について、補足しますが、√2や√3の近似値を知らない、という設定とします。ですので、覚えたらそれまでなのですが、もし万が一忘れてしまった場合の対処法、また他の近似値を求める場合に役立てたいと考えています)。
 (3)√6は2と2.5の間とあるが、これは2+2.5=4.5 すなわち整数部分は4でいいのか。

 質問内容が拙く分かりにくい点もあると思うので、そういう時は仰っていただけるとありがたいです 

Aベストアンサー

1)分数→小数:分子÷分母を計算してください。
       例2分の5は、5÷2で2.5です。

 小数→分数:小数を1分の[その小数]という分数として考え、分母、分子それぞれに同じ値をかけ、
       分母、分子ともに整数となるようにする。
       例2.5は、1分の2.5で、分母、分子に2をかけ、2分の5です。

2)http://homepage1.nifty.com/moritake/sansu/6/heihoukon/PAGE001.HTM
 に、筆算でのやり方が書いてあります。

3)質問がよくわかりません。
        

Q1/(1-x)のマクローリン級数を求めそれを使ってx^2/(3-x)のマクローリン級数を求めてください。

1/(1-x)のマクローリン級数を求めそれを使ってx^2/(3-x)のマクローリン級数を求めてください。途中式もお願いします

Aベストアンサー

分かるところまで書いてください。
丸投げ禁止です。

x^2/(3-x)=x^2/3*1/(1-x/3)
と変形し、1/(1-x)の級数のxをx/3に置き換える。

これで分からなければ、教科書を読みなおしましょう。

Q体積の2等分、3等分の近似値

V={(x,y,z); x二乗+y二乗+z二乗≦1,z≧1}を水平に切って体積を2等分、3等分した時のz座標の近似値を求めよ。
おそらく、体積に関係したzの3次方程式を出してNewton法で近似値を求めるのだと思うのですが、三次方程式の出し方がわかりません。近似値はパソコンで計算できるので方程式の導き方を教えてください。
数学が苦手なので、なるべく丁寧な解説をお願いします。

Aベストアンサー

>饅頭のような半球体の形をしています。
わかってますけど・まあ、いいや。

今ある点Zでx-y平面で水平に切るんですよね。
それを、例えば、ハムみたいに何枚も薄く切るというようなイメージをしてみて下さい。
z=0~z=Zまでをn個にスライスします。
1個あたりの幅はΔz:Z/nです。
このスライスしたものを
円柱と考えて、その体積を足し合わせることを考えます。
円柱の体積は、πr^2×h(底面積×高さ)です。
1枚目のハムの体積は、
r=Rsinθで
ここで、Rは球の半径で1
sinθは、cosθ:Δz/Rに対応するθのsinです。
1=(sinθ)^2+(cosθ)^2
から
(sinθ)^2=1-(cosθ)^2
で、cosθ=Δz/R=Δz
なので、結局1枚目の円柱の体積は
πr^2×h
=π(sinθ)^2×Δz
=πΔz(1-Δz^2)
です。
2枚目の円柱はというと
cosθ=2Δz/R=2Δz
ですから同様にして
=πΔz(1-(2Δz)^2)
です。
これらを足し合わせると
πΔzΣ1-πΔz^3Σn^2
ですから
πΔzn-πΔz^3{n(n+1)(2n+1)/6}になります。
ここで、Δzn=Zですから(カッコのそれぞれに掛け合わせて)
πZ-πZ(Z+Δz)(2Z+Δz)/6
になりますが
ココで分割するnを大きくするとΔzは0とみなせますから
πZ-2πZ^3/6
通分して
πZ-πZ^3/3
ということになります。
半球の体積は、2π/3ですので、
その半分π/3になるZを見つければ良いということになります。

>饅頭のような半球体の形をしています。
わかってますけど・まあ、いいや。

今ある点Zでx-y平面で水平に切るんですよね。
それを、例えば、ハムみたいに何枚も薄く切るというようなイメージをしてみて下さい。
z=0~z=Zまでをn個にスライスします。
1個あたりの幅はΔz:Z/nです。
このスライスしたものを
円柱と考えて、その体積を足し合わせることを考えます。
円柱の体積は、πr^2×h(底面積×高さ)です。
1枚目のハムの体積は、
r=Rsinθで
ここで、Rは球の半径で1
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Q正弦の定理と余弦の定理を使った面積の求め方がわかりません

今日の学校の授業でやったことなのですが、

(1)a=7,b=8,c=13のとき△ABCの面積

(i) cosC=8^+7^-13^/2×8×7
=-1/2

(ii)sin^C=1-cos^C=3/4

(iii)S=1/2×8×7×sinC
=1/2×8×7×√3/2
=14√3

(答)14√3

となるのですが、面積を求めるときに、(i) でせっかくcosC=-1/2とだしたのに面積を求めるときの(iii)で使われていません。
何のために求めたのでしょうか?
解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(i)・・・3辺の長さしか分かっていないので余弦定理しか使えません。

(ii)・・・面積を求めるにはsinの値が必要です。しかし、(i)で余弦定理を使ってcosの値を求めたのでそれをsinにします。

(iii)・・・あとは公式通りに面積を求めます。


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