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いつもお世話になります。よろしくお願いします。

中学校入試なので、三平方やルートはなしでお願いします。

答えは17.58cm2とのことです。

(正方形の面積)27cm2-(30度の扇形)9.42ということになるのでしょうが、
27cm2の求め方がわかりません。


もちろん、別のプロセスでも構いませんので、解法を教えていただけないでしょうか。

「中学校入試レベルの問題です。なぜそうなる」の質問画像

A 回答 (9件)

1辺が6cm の正方形を描き、30 度の線を延長する。

正方形と斜め線でできた2つの相似な図形に注目する。

2つの直角三角形を 30 度の角で重ねる。そのとき、小さい方を裏返す。

それらの直角三角形は正三角形の半分であることを思い出すと、差額の小さな直角三角形を組み合わせてできることがわかる。
つまり、2つの直角三角形は、この小さい直角三角形の4つぶんと3つぶんである。

最後に、形は同じで大きさが違う2つの図形を並べてみる。
直角三角形の面積は4:3、大きい方の正方形の面積は 36 平方センチメートル、だったら小さい方の面積は 27 平方センチメートル。
あとは小学生の直感に頼る。
「中学校入試レベルの問題です。なぜそうなる」の回答画像7
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
よくわかりました。

灘中模試の問題でした。
http://sansu-seijin.jp/?p=4744

ちなみにここのヒントにある
「30度の二等辺三角形と正方形の面積比」というのがさっぱりイメージできず、
質問させていただきました。

感謝します。

お礼日時:2016/01/08 21:39

>「内角が120°で一つの辺が6cm、もう一辺がt」はわかりますが、


>そうするとなぜ△OGB’と等しくなるのでしょうか?

中学生以上への説明なら当たり前ですが「合同だから」
小学生(中学受験生)向けの説明なら、「頂点Oを中心に左辺と右辺をひっくり返した(取り替えた)、同じ形だから」

小学生は「合同の定義」を習っていませんが、「移動して重なる」「回転して重なる」「ひっくり返して重なる」とき、同じ形(同じ面積)になるということは利用・活用してよいです。(頻繁に使います)
ちなみに、「重なることの厳密な証明」などは小学生に求められていません。
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この回答へのお礼

すみませんでした。
ご説明を最初から読めば、書いていただいてましたね。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2016/01/10 07:20

出題図の正方形の左下をO、左上をG、右下をHとする


出題図に合わせて1辺6cmの正方形を描き、左上をC、右下をDとする。
正方形下辺の下側に点Bの対称点B’を置く。(∠DOB’=30°、OB’=6cm)
ODとBB’の交点をHと置く。
OBとADの交点をF。正方形下辺の下側に点Fの対称点F’を置く。(∠DOF’=30°)


解法)
直角二等辺三角形△OGHは、求めたい正方形の面積の半分の面積である。
△OGHと△OGB’の面積は等しい。
OH、OGの長さをtとすると、OF’=t(△OF’Dは斜辺6cmで30°60°の直角三角形)
△OGB’は、△OF’Cと同じ面積である(内角が120°で一つの辺が6cm、もう一辺がt)
△OF’Cと△OECと同じ面積。

ところで△ODFは斜辺6cmで30°60°の直角三角形なのでDF=3cm
△EDFは斜辺3cmで30°60°の直角三角形なのでED=1.5cm
ED=1.5cmなので、OE=4.5cm
△OECは、底辺4.5cm、高さ6cmの三角形なので面積4.5*6/2=13.5cm^2

求めたい正方形の面積の半分が13.5なので正方形の面積は27cm^2
「中学校入試レベルの問題です。なぜそうなる」の回答画像8
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この回答へのお礼

ありがとうございます。一点理解できません。

>△OGB’は、△OF’Cと同じ面積である(内角が120°で一つの辺が6cm、もう一辺がt)

「内角が120°で一つの辺が6cm、もう一辺がt」はわかりますが、
そうするとなぜ△OGB’と等しくなるのでしょうか?

お礼日時:2016/01/09 19:03

泣く子と地頭には勝てない、その泣く子もなくだけです、勝手に・・・・・。

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じゃあ、できない。

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習ってなくても入試で求めてくる学校なんか山ほどありますが?



中学入試と言っても平方根くらい出てくるんじゃないですかね?
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この回答へのお礼

申し訳ありません。
そういう意図で質問しているわけではありませんので。

「三平方やルートはなしでお願いします」
という質問をさせていただいております。

お礼日時:2016/01/08 00:26

No.2ですが、長さの比が1:2:√3の三角形は習ってますか?

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この回答へのお礼

小学校では習いませんね。
平方根が出てくるのが中3になりますね。

お礼日時:2016/01/07 10:13

90度を3等分すると、A点からB点までの間隔は30度です。


円一周が360度ですから、30/360=1/12です。

半径6cmの円の面積は36π、原点とABを結ぶ扇型の面積は1/12だから3π=9.42

底辺とBまでの長さは、角度が30度だから3cm。
原点からBから下ろした垂線までの長さは3√3
四角形の面積は(3√3)^2=27
これから9.42を引くと
27-9.42=17.58cm2
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この回答へのお礼

中学校入試なので、三平方やルートはなしでお願いします。

お礼日時:2016/01/06 00:42

色のついた下の直角三角形の、左側の角度は30度です。


従って、四角形の辺の長さは、6×cos(60) = 6 × √3/2 = 3 × √3です。
従って四角形の面積は3 × √3 の二乗である 27です
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この回答へのお礼

中学校入試なので、三平方やルートはなしでお願いします。

お礼日時:2016/01/06 00:42

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