部分空間への正射影(大学レベル)

画像に問題と私の解答を載せました。
2つの直交する基底ベクトル(aとb)からなる空間に、あるベクトルxを正射影する場合には、それぞれの正射影を求め(x→a、x→b)、和にすればよいのでしょうか？画像ではそのやり方でやってあります。

もしくは、一つの基底で正射影し(x→a)、そこで求まったベクトルをもう一つに正射影する(xからaに正射影したもの→b)のでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： fedora777 回答日時： 2016/01/12 03:10

これで正解です。

＞一つの基底で正射影し(x→a)、そこで求まったベクトルをもう一つに
＞正射影する(xからaに正射影したもの→b)のでしょうか？

こうすると、aとbが直行するので、xがどんなベクトルでも０になってしまいますよね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
助かります。

お礼日時：2016/01/12 11:29

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/01/12 08:26

正射影の正式な定義はよくしりませんが、ベクトルの平面への正射影は、

平面と垂直な照明でできるベクトルの影のはず。

つまり、xを位置ベクトルと見た場合、xの平面への垂線の足 y(正射影) は

a・(x-y)=0, b・(x-y)=0, y=ca + db (c, d はスカラー)

a・x = c + d(a・b)
b・x = c(a・b) + d

a・x(a・b)-b・x = d((a・b)^2-1) → d = (b・x - a・x(a・b) )/ (1-(a・b)^2)
a・x-b・x(a・b) = -c((a・b)^2-1) → c = (a・x - b・x(a・b) )/(1-(a・b)^2)

a⊥b ならば a・b=0 なので 、c = a・x, d = b・x

従って、質問は「正解」です。

但し、蛇足ですが、質問者様の主張は a⊥bの場合だけ正しいことに
注意してください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
とても参考になりました。

お礼日時：2016/01/12 11:30