角の三等分線の長さ

図において、△ABCの角Aの三等分線と辺BCとの交点をBに近いほうから点P，Qとすると、
BP：PQ：QC＝AB×AP：AP×AQ：AQ×AC
が成り立つようですが、△ABCの3辺(AB，BC，AC)の長さのみを使ってAPやAQの長さ、あるいはBP：PQ：QCを求めることはできるのでしょうか？求める方法を教えてほしいです。

No.11 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/22 18:35

cos5° だと、虚数を使わざるをえない「表示」が精一杯だと思います。

あるいは No.9 にあるような級数で表す（最後に } を書き忘れてるケド、表せた満足感はある）か近似値（こちらが実用的）かだと思います。

もしきれいに書けてたら、数学辞典に載ってます。（自信たっぷり）

この回答へのお礼

それじゃ仕方ないですね
最後までお世話になりました
ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/28 16:16

No.10 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/21 20:21

> i sinA＝√(－sin^2 A)

> ＝√(－(1－cos^2 A))
> ＝√(cos^2 A－1)
> ＝√(cos2A/2)　　←ここ
> ＝√cos2A/√2
> ＝√2cos2A/2


cos2A=2cos^2 A -1=2(cos^2 A -1) +1

なのではないかと。

この回答へのお礼

すみません、まだ使い慣れてなくて。
そうすると、√(2cos2A－2)
仰せの通り、虚数になりますね。無駄な抵抗でした。
では虚数ならどうやったら計算できるんですか？有名角の1：2：√3 みたいには表せないんでしょうか。

お礼日時：2016/01/22 15:44

No.9 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/21 13:02

二項級数を使って cos(A/3) を表してみました。

cos(A/3)=(cosA)^(1/3) Σ[n=0→∞] C(1/3, 2n) (tanA)^(2n)
=(cosA)^(1/3) {1+(1/9)(tanA)^2-(10/243)(tanA)^4+(154/6561)(tanA)^6-…

C(α, k) とは、α(α-1)(α-2)…(α-k+1)/(k!)　のことです。

A=15°　で表計算ソフトを使って検算したところ、はじめの10項（18次まで）の計算で、間違いがなければ小数第13位まで一致しました。

たぶんあってると思います。望まれているものと違うでしょうが、念のため。

No.8 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/20 23:29

((2√6+2√2+4√√3)^(1/3)+(2√6+2√2－4√√3)^(1/3))/4

の値を、表計算ソフトを使って計算してみると

0.9253…

になりました。これはおよそ 22.3 度の cos です。

私は「1/3倍角の公式」なるものを知りません。また、複素数の立方根から実部を単純な形で抜き出すことは、特別なもの以外できないのではないでしょうか。
近似値ではだめですか？

この回答へのお礼

i sinA＝√(－sin^2 A)
＝√(－(1－cos^2 A))
＝√(cos^2 A－1)
＝√(cos2A/2)
＝√cos2A/√2
＝√2cos2A/2
と変形してみたのですが…
これが正しいならcos5がちゃんとなると思いますが、計算した結果が違うなら間違いらしいですね

お礼日時：2016/01/21 15:55

No.7 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/17 19:11

何度もすみません。

やはり一般的には複素数表示は免れないようです。あなたが No.3 のお礼のところで書かれているものと同じで、偏角がいちばん小さいものとその共役を選ぶ場合になります。

それと辺の長さの表し方ですが、一通りではないですね。

この回答へのお礼

お世話になっております。
cosθを虚数を使わずに表そうとするとこうなりました。
cosθ
＝((8cosA+4√(2cos2A))^(1/3)+(8cosA－4√(2cos2A))^(1/3))/4
cos5
＝((2√6+2√2+4√√3)^(1/3)+(2√6+2√2－4√√3)^(1/3))/4
何せこちらは手計算でやっていて、間違いがあるかもしれませんが
というか、これっていわば「3分の1倍角の定理」みたいなものですかね
自分は二重根号や立方根をはずす技術がないので何かわかったら教えてください。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/01/20 15:54

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/17 18:51

ちょっと三次方程式を計算してみたところ、解が複素数表示（実数ではある）になってしまいました。

浅はかでありました。
確認していただけると助かります。

No.5 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/17 18:03

> cos θ=((cos A +i sin A)^(1/3)+(cos A -i sin A)^(1/3))/2

> cos 2θ=((cos A +i sin A)^2)^(1/3)+((cos A -i sin A)^2)^(1/3))+1

cos 2θ=((cos A +i sin A)^2)^(1/3)+((cos A -i sin A)^2)^(1/3))/2　ですかね。

通常 (cos A +i sin A)^(1/3) は３つの解を表していると私は理解していますが、私の立場では、それらは３つの解を（もしかするとそれ以外も）表しているような気がします。

解を求めるのであれば、私なら実際に三次方程式を解いていちばん大きいものを選びます。そのとき根号を使って表すことになりますが、実数の３乗根は実数である、なーんて慣れ親しんでいるぶん実感できると思います。

> u：w
> =c(2cos θ cos C +cosB)：b(2cos θ cos B +cos C)

私の計算と違う・・・
計算をし直してみます。


> x=v cosB(2cosθcosC+cosB)/(cosAcosB-cosC)
> y=v cosB(2cosθcosB+cosC)/(cosAcosB-cosC)

連立方程式の４つは余弦定理ですが、第二、第三式で u と v+w の係数をそろえて、たすと、第一式で u+v+w を消去できます。
とか、そんなことより、cos5° を表したいというのであれば、直接三次方程式を解けばいいと思うんです。

No.4 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/17 00:53

No.3 ですが

x=(b cosB+c cosC-a cosB cosC)/(cosC cosθ+cosB cos2θ)
y=(b cosB+c cosC-a cosB cosC)/(cosB cosθ+cosC cos2θ)

になると思います。
何か隠れていそうな気配があるので書きました。


θ=15度、30度、45度で試してみるとか、表計算ソフトでやってみるとか、どうでしょう？

この回答へのお礼

ほうとうですか！
私のは式にvを含みますが
x=v cosB(2cosθcosC+cosB)/(cosAcosB-cosC)
y=v cosB(2cosθcosB+cosC)/(cosAcosB-cosC)
になりました。
元は3組の角が5°,85°,90°の直角三角形の辺の比を出そうと思って、15°,75°,90°の直角三角形の辺の比はわかっていたので、それでは15°を三等分しようということになりましたが、行き詰まりました。
でもxやyがわかれば、この場合三平方の定理が使えるので直角をもつ一つの三角形の辺の比は出せそうですね。
するとcosθもこれで出る気がします。
もう少し詳しく調べてみます。ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/17 14:09

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/15 21:29

cosA、cosB、cosC は、AB、BC、CA で表すことができる。

A の３等分をθとおく。すなわち A=3θ。
cos3θ=cosA
よって
4(cosθ)^3 -3cosθ=cosA
この三次方程式を解いて、cosθを求める。３つのうち最大のもののはず。

cos2θを求める。

BC=a, CA=b, AB=c とする。
AP=x , AQ=y , BP=u , PQ=v , QC=w とおくと

u+v+w=a
x cosθ+u cosB=c
x cos2θ+(v+w) cosC=b
y cosθ+w cosC=b
y cos2θ+(u+v) cosB=c

なので、これを解くと求められるんじゃないでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
これで計算してみましたが、
cos θ=((cos A +i sin A)^(1/3)+(cos A -i sin A)^(1/3))/2
cos 2θ=((cos A +i sin A)^2)^(1/3)+((cos A -i sin A)^2)^(1/3))+1
になって何故か式中に虚数iが出現してしまいました。計算間違いか、これで正しいのかどうでしょう？これ以上簡単にできるでしょうか。
また、一応、計算が正しければ
u：w
=c(2cos θ cos C +cosB)：b(2cos θ cos B +cos C)
でした。
大きな進歩です、ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/17 12:04

No.2 回答者： otchee 回答日時： 2016/01/15 17:48

すいません、間違いを訂正します。

＞三角形の面積の求め方として、「ある2辺の長さ×その2辺で作る角度のsin÷２」という関係があります。
これは正弦定理ではありません。失礼しました。