数学が分からない 可能でしたら早いうちに知りたいです

線形代数です。この問題が全然わからなくて質問させていただきました。


R^3の部分空間L1,L2を以下のように定める。
R^3の任意の元X＝(x1,x2,x3)をL1の元Yと、L2の元Zにより、X＝Y＋Zの形に表せ。

L1＝{X| x1＋4*x2＋9*x3＝0}
L2＝{X| x1＋3*x2＋8*x3＝0}



よろしくお願いします(;;)

質問者からの補足コメント

• そうですね、わかりづらい書き方をしてしまい申し訳ありません。部分空間等の意味はわかるのですが解き方がわからないんです。すみませんよろしくお願いします

    補足日時：2016/01/17 15:25

No.2 ベストアンサー 回答者： think_2nd 回答日時： 2016/01/17 16:11

可能でしたら早いうちに何を知りたいのでしょうか。

　①数学がわからないことを知りたいのでしょうか。
　②問題がわからないこを知りたいのでしょうか、
　➂解法がわからないから、それを知りたいのでしょうか
　おそらく①≧②≧➂かなと、思います。この悩みでしたら下記は回答になっていません。Taさんも心配しているように問題がわからないようですから、早く①の自我に芽生えてください。
数学は趣味ですから、この回答サイトをお借りして、➂における落書きをします。あなたにとって、つまらぬ参考になれば幸いです。
　R^3の任意の元X＝(x1,x2,x3)と書くのが面倒ですから、R^3の任意の元X＝(x,y,z)とします。しかもXはベクトルですから→Xと書きます。

　L1、L2ともに原点Oを通る平行でない、異なる2平面です。このことに気付くと初めの一歩を踏み出しますから、アイデア路線に乗れます。以下落書きしますが、"直交系座標から斜交系座標系へ"の座標変換公式がありますが、それを使わず、高校生にわかるように解いてみます。(参考として追加しました。)

R^3の直交座標系にある→Xを、
　　線形部分空間　L1＝{X| x＋4y＋9z＝0}、 L2＝{X| x＋3y＋8z＝0}の　L1⋃L2空間から、3つの独立な　基底(大きさは1でなくてもかまわない。)を作る。それらを→a,→b,→cとする。と。
　つまり、
∀(→X)∈R^3　に対して→X=u(→a)+v(→b)+r(→c)　となるu,v,rが存在すること示せばいいんじゃないでしょうか。もちろん{→a,→b}∈L1、{→a,→c}∈L2としましょう。
　L1∩L2∋(5,1,-1)ですからこれを→aとします。(2つの平面の交線は直線になりますから2つの方程式の差を取ってy+z=0　と平面x＋4y＋9z＝0から(x,y,z)の比が出ますから1つの基底を作れます。すなわち交線は原点を通る方向ベクトルaの直線です。)
　　
→bをL2から作りましょう。L2の法線ベクトル(1,4,9)と→aの外積を取って、求まりますが→a,→b,→cは斜交座標系になりますから、外積とっても面白くありません。
それなら平面x＋4y＋9z＝0に載った→aと独立なベクトルとして簡単にZ=0とすれば→b=(4,-1,0)でいいですよね。
　同じ手口で→cをL2:x＋3y＋8z＝0から作りますと→c=(8,0,-1)と作れます。
　これで下準備が整いました。
和空間L1とL2に含まれる3つのベクトルが
　　　　→a=(5,1,-1)、→b=(4,-1,0),→c=(8,0,-1)
　　任意の→Xを→a,→bの張る平面L1に点Xから,→cに平行な直線を引くと平面L1と交点X'ができます。その点は→OX'=u'(→a)+v(→b)と書くことができます。
　　次に→a,→cの張る平面L2に点Xから,→bにそって平行な直線を引くと平面L2と交点X''ができます。その点は→OX''=u''(→a)+r(→c)と書くことができます。


　つまり→OX=(→OX')+(→OX'')=(u'+u'')(→a)+v(→b)+r(→c)　となる(u'+u'')=u,v,rが存在する。
　　　u(→a)+v(→b)∈L1、　v(→b)+r(→c)∈L2だから　
　→X＝→Y＋(→Z)と書ける。




以下参考までに
ここで行列Aを
　　　　　　　　　　　　(5　4　8)
　　A=(→a　→b　→c)=(1　-1　0)　とすると、
　　　　　　　　　　　　(-1　0　9)

　Aは逆行列を持ちますから→a,→b,→cは互いに一次独立なベクトルたちです。
Xを斜交座標系{O;→a,→b,→c}からみてX(u,v,r)と見えれば
　　　(x)　　(5　4　8)(u)
　　　(y)=　(1　-1　0)(v)
　　　(z)　　(-1　0　9)(r)
　と書けるから(x,y,z)を与えればu,v,rも求まります。

この回答へのお礼

丁寧に解説していただきありがとうございました！自身の文章が分かりづらく、申し訳ありません。
とても助かりました！

お礼日時：2016/01/21 17:52

No.3 回答者： think_2nd 回答日時： 2016/01/18 17:34

No2です。

事情分かりましたから、前回の回答は落書きにはならない、正統派回答でした。
　ごめんなさい、後半の追加の参考が間違っていますので、訂正いたします。
座標系の変換式が間違っています。→a,→b,→cは前半のままの座標でいいのですが、斜交座標系の基底を単位ベクトルにする必要があります。だから
行列Aを
　A＝((→a)/|→a|　(→b)/|→b|　(→c)/|→c|)と訂正します、この3本の基底から、Pの座標を読み込みますから、それがX(α，β，ｒ)
のとき、


A＝((→a)/|→a|　(→b)/|→b|　(→c)/|→c|)としますから、変換公式は
　　　(x)　　　　　　　　　　　　　　(5　4　8)(α)
　　　(y)=　1/（|→a|・|→b|・|→c|)(1　-1　0)(β)
　　　(z)　　　　　　　　　　　　　　(-1　0　9)(r)
　と書くべきでした。
失礼しました。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/01/17 02:39

どこまで理解できていて, どこがわからないのですか? 例えば「『部分空間』とはなにか」がわからないわけじゃないでしょ?