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フーリエ変換について、時間分解能Δtと周波数分解能Δfについて、
両立は難しいと言われますよね。

サンプリング周波数 f_s
データ数 N

とすると、

Δf = f_s/N

Δt = 1/f_s

だと思うのですが、それならば、両立する条件として、

Δf × Δt = 1/N

でデータ数 N を単に増やすだけで解決すると思うのですが、
何か考え方が間違っていますでしょうか?

詳しい方、よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • ご回答ありがとうございます。
    うーん、すいません。例えば、

    f_s = 1000 Hz
    N = 100

    の時、信号の継続時間は N/f_s = 0.1 s ですよね。
    だから、その長さで波がすっぽり入る限界の周波数、
    Δf = f_s/N = 10 Hz なのは分かります。
    それ以下の周波数はうまく扱えませんからね。

    しかし、
    Δt = 1/f_s = 0.001 s の細かさまで信号は扱えるのではないですか?
    なぜ
    NΔt = N/f_s = 0.1 s が基準になってしまうのでしょうか?

    リアルタイムとおっしゃる意味がよく分かりませんでした。
    もう少し詳しくお願いします。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/01/31 20:26
  • なるほど、そういうことだったんですね。
    音楽ファイルは一定時間ごとにスペクトルが変動する。
    という視点が抜けていたようです。

    最後にもう一点だけお願いします。フーリエ変換ってやつは、
    時間変化を記録する時に積分して周波数成分の大きさを調べると思いますが、
    「一定時間NΔt」の間の時間変化を表現するのですよね?それなら、
    そのNΔtを大きくしていけば、「時間変化しない一組の」フーリエ成分で
    完全に音が再現できると思うのですが、どうなんでしょう?

    理論上は、CDの最大録音時間 74分 を一組のフーリエ変換の成分で、表現できませんか?
    もしかして、行列のサイズが k×k だから(?)計算の手間が膨大になってしまうのでしょうか。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/02/01 00:08

A 回答 (2件)

>Δt = 1/f_s = 0.001 s の細かさまで信号は扱えるのではないですか?



いや、例えばバイオリンのビブラートを測定したいとします。
つまり周波数成分の時間変化を知りたい。
この時積分範囲を大きくして周波数の精度を上げようとすると
積分範囲がビブラートの周期を超えて、時間変動が
積分の中に埋もれてしまいます。

つまり、ここでいう、時間分解能とは、積分間隔のこと。
サンプリング間隔はどうでもよいのです。
この回答への補足あり
    • good
    • 0
この回答へのお礼

疑問はまだ残りますが、新しい視点を頂けて、
とてもありがたいです。どうもありがとうございました。

お礼日時:2016/02/04 23:06

両立というのはスペクトラムの時間変動を


リアルタイムにみたい ということなのです。

つまりΔfを保ちつつ、ΔtNを小さくしたい
という事。でも

△f△tN=1

なのでどちらかを犠牲にするしかないのです。
この回答への補足あり
    • good
    • 0

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> これはσ→∞のとき完全なホワイトノイズになると考えて良いのでしょうか?
もちろん一致します。でもσが無限大のガウスノイズは、現実には実現不可能です。

> この標準偏差が無限のときに、
狭い周波数帯では平坦に見えるということからホワイトノイズと呼ばれるという説明で合っていますでしょうか?
無限は思考的な理論の世界の表現で、現実には無限の周波数は作れませんし、その測定器も存在しません。もしσが無限大のガウス雑音が出来たとしたら、ホワイトノイズと区別できないでしょう(ガウスノイズはσ無限大の極限ではホワイトノイズは一致します)。

別に標準偏差が無限大でなくても、扱うスペクトルの周波数帯で平坦なスペクトル(と見えている)ならホワイトノイズとして扱って良い(見做して良い)でしょう。あくまでも擬似的なホワイトノイズであって、ホワイトノイズそのものではありません。
たとえば、音声などの可聴周波数帯(50Hz~20kHz位)の信号を扱う場合は標準偏差σが100kHz以上のガウス雑音を擬似的なホワイトノイズとして扱って良いでしょう。このσのガウス雑音のスペクトルの大きさ(振幅)は可聴周波数帯のf=0~20KHzの範囲ではほとんど平坦なので、σ=100kHzのガウス分布のガウス雑音は可聴周波数帯ではホワイトノイズの代用として使えるでしょう(この意味で擬似ホワイトノイズです)。同じホワイトノイズ発生器を、帯域100kHzの周波数計測器の雑音源としては全くホワイトノイズの役目をしません。あくまでガウスノイズに過ぎません。

フーリエ積分(変換)を学んで見えるなら、
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なお、真の意味のホワイトノイズ発生器は製作不能です。製作できてもそれがホワイトノイズ発生器であることを確認する測定器も作れないし存在しませんね。あくまで理念的な空想の産物ですね。

#1です。
A#1の補足の質問の回答

> これはσ→∞のとき完全なホワイトノイズになると考えて良いのでしょうか?
もちろん一致します。でもσが無限大のガウスノイズは、現実には実現不可能です。

> この標準偏差が無限のときに、
狭い周波数帯では平坦に見えるということからホワイトノイズと呼ばれるという説明で合っていますでしょうか?
無限は思考的な理論の世界の表現で、現実には無限の周波数は作れませんし、その測定器も存在しません。もしσが無限大のガウス雑音が出来たとしたら、ホワイトノイズと...続きを読む


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