こんばんは!学校で出された問題がどうしても分からないため、質問します!(ToT)

Q サイコロA、Bの1の目の出る割合の差を検定するために、予備検定としてそれぞれ30回ずつ振ったところ1の目が出た回数はAが3回、二つのサイコロの結果を合わせると10回だった。
(1)二つのサイコロの1の目が出る割合の差を検定するための帰無仮説を立てなさい。
(2)帰無仮説が正しいという前提で、1の目が出る期待値を答えなさい。
①サイコロA、Bともに1の目が出る期待値は、30回中何回?
②サイコロA、Bともに1の目が出ない期待値は30回中何回?

ご協力お願いします!!!

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A 回答 (4件)

No.1&2さんは統計の専門家のようですので、正しい回答だと思うのですが、ちょっと分かりにくいような・・・。


私は統計にそれほど詳しくはないので、正しいかどうか自信はありませんが、考え方を述べたいと思います。

この問題の場合には、サイコロの目は「二項分布」に従うということは分かりますね?

二項分布
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85 …
http://mathtrain.jp/bin

 サイコロは、経験的に各目が1/6の確率で出ることを知っていますが、この場合にはそれが分からないとして(あるいはサイコロAもBもいびつにできていて、各目が均等に出るかどうかわからない、という仮定で)、一方の「1の出る確率」(あるいは期待値)を基準にして、他方が同じ確率(あるいは期待値)といえるかどうかを調べる問題、と考えます。

 この場合、「帰無仮説」とは、それが統計的に「めったに起こらない」として否定するための仮説ですが、この場合には
(a)2つのサイコロの「1の出る確率」(あるいは期待値)は等しい
(b)2つのサイコロの「1の出る確率」(あるいは期待値)は等しくない
のどちらでもよいのです。統計的に「否定できる」か「否定できない」を判定するので、どちらでもよいわけです。

 これを(b)にしようとすると、「等しくない」って、では一体どう違うのか(大小関係とか、いくつ以上差があるとか)も仮定しないといけませんし、「(b)が否定されたから(a)である」というための(b)の条件って何? というのが結構難しいです。
 従って、(a)を帰無仮説にして、「等しい」が否定されたら「等しくない」が結論になる、「等しい」が否定できなかったら「等しくないとまでは言えない(どのように違うかまでは言う必要がない)」が結論になる、というやり方をするのが普通かな、と思います。

 ということで、問(1)の答を上記の(a)にしましょう。

 そうすれば(2)は簡単です。AもBも「同じ確率」と仮定したのですから。
 なお、No.1さんは「設問には、帰無仮説は棄却されないと書かれています」と書かれていますが、設問にはそんなことは書かれていないと思います。まだ「予備検定として」の段階ですから。「帰無仮説が正しいという前提で」ということなので、これは「もし帰無仮説が正しいとしたら」という「仮定」でよいのだと思います。

 ということで、「各々30回振って1の目が出たのは、Aが3回、Bが7回」つまり合計で「60回中10回」です。AとBとは同じ確率なので、「1が出る確率」はAとBの試行の合計値を使えばよいわけです。(二項分布では、サンプル数を多くするほど「正規分布」に近づくので)
 つまり、AもBも「1の目の出る確率は1/6」ということです。ここでは、「1以外の目が出る確率」は「 1 - (1/6) = (5/6) 」であって、2以上が各々「1/6」ずつである必要はありません。

 ということで、
①各々30回振ったときに1の目の出る期待値は
  A:30 × (1/6) = 5 回
  B:30 × (1/6) = 5 回

②各々30回振ったときに1の目の出ない期待値は
  A:30 × [ 1 - (1/6) ] = 25 回
  B:30 × [ 1 - (1/6) ] = 25 回
となります。


 この問題は、実際に「検定」をさせる問題ではなく(だから問題文にも「予備検定として」と断っている)、「帰無仮説」とは何か、それをどのように選べばよいか、その仮説はどのような意味を持つのか、を問うている問題かと思います。

 この問題で、(1)で(b)を選んでしまったら、(2)の答ば出ませんから。

 ちなみに、似たような問題へのこんな回答もしていますので、併せて参考にしてください。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9158813.html
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございました!!
講義の先生より分かりやすい説明で、本当に助かりました!なんとか課題を提出できそうです。
本当にありがとうございました!

お礼日時:2016/01/30 17:45

No.3です。

読み返してみたら、中央付近の下記の文章(前振り説明の最終部分)がちょっと変ですね。下記のように訂正します。

(No.3の記述)
 従って、(a)を帰無仮説にして、「等しい」が否定されたら「等しくない」が結論になる、「等しい」が否定できなかったら「等しくないとまでは言えない(どのように違うかまでは言う必要がない)」が結論になる、というやり方をするのが普通かな、と思います。


(以下のように訂正)
 従って、(a)を帰無仮説にして、「等しい」が否定されたら「等しくない」が結論になる(どのように違うかまでは不明だが)、「等しい」が否定できなかったら「等しくないとまでは言えない」(とは言っても「等しい」と断定できるわけではない)が結論になる、というやり方をするのが普通かな、と思います。
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#1です。



ベイズ推定でやったときの確率が、
このケースでは違わないと書きましたが、
本来6項のディリクレ分布を二項分布にしてしまっているので、
怪しいです。

また、ベイズでは二項分布の場合、事前分布をベータ分布Be(α,β)で与えます。
そこから、期待確率pは、
p=(α+x)/(α+β+n)
と求められます。
つまり、事前分布をどのように考えるかで、α,βの値が変わりますので、
最尤推定値とは異なる値が出てきます。
スミマセン。
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企業で統計を推進する者です。



1以外の目には言及されていませんので、コインの裏表の割合と同じと考えれば良いです。

(1)確率の表現方法を、どう教えられているか分かりませんが、
xが生起する確率をPとすると、それをP(x)と書きます。Pは大文字です。
観測を生んでいる母確率をpとしますと、正確にはP(x|p)となります。pは小文字です。
Pは、観測毎に与えられます。毎回の確率は違っていて当たり前です。
そのPは二項分布に従います。
今は、この母確率pが二者で「違わない」(差というのは変)というのが帰無仮説になります。
pA=pBです。A,Bは下付きの添え字にして下さい。

(2)イカサマかどうかを検定しろとは言っていません。
違いがないかどうか検定しろ、という問題ですので、
2×2分割表の検定でやります。

サイコロ___A___B
1の目____3___7
その他____27___23

さて、これをχ2検定でやるのですが、これは良いのですね。
設問には、帰無仮説は棄却されないと書かれています。

すると、観測結果として、合計60回の試行で、10回の観測が得られたことになります。
ここから母確率を最尤推定します。
コインの裏表のように考えて良いことから、二項分布になります。
二項分布の式は調べて下さい。
対数尤度 logL(p|x)=logC(n,x)+xlogp+(n-x)log(1-p)  Cは組み合わせの数
を微分して0と置き、極大値を求めます。
そのときのpが期待値です。
x/p-(n-x)/(1-p)=0
より、p=x/n
よって、p=1/6
期待値を求めなさいと問われているので、わざわざ最尤推定しました。
60回の試行で得られた確率Pと母確率pは、実は最尤推定では同じになります。
ベイズ推定では違いますので、注意して下さい。
(このケースは同じになりますけどね)
①30×p=5
②30×(1-p)=25
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この回答へのお礼

助かりました

細かく解説して頂き、ありがとうございました!!
なんとか課題を終わらすことができそうです!
ほんとに助かりました (^^)!

お礼日時:2016/01/30 17:41

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Q期待値について

くじA 確立1/2で0円 確立2/1で100円
くじB 確実に50円
くじAとBからそれぞれ得られるお金の期待値期待値とはどうなるのですか?
AとBの期待値を比較したときはどうなるのか?
期待値の求め方を全く忘れてしまって、アドバイスいただけたらありがたいです。

Aベストアンサー

確率変数Xの期待値は X=Xkとなる確率がpk(i=1,2,3,・・・,n)のとき
E(X)=p1*X1+p2*X2+・・・+pn*Xn
ですから(もし連続量なら積分です)
今の場合の期待値(期待金額)は
くじA:(1/2)*0+(1/2)*100=50(円)
くじB:1*50=50(円)
で同じです.

Q帰無仮説 統計 p値

コインを5回続けて投げて5回とも表がでるとする。
このコインは偏っているといえるか?

通常偏っていると考えて 偏っていない という帰無仮説をたてて、0,5の5乗で約3パーセント
P<0.05となっているため仮説は棄却
コインは偏っている。

r=0.90 (P<0.001)
相関係数は0.90と計算された。相関がないのに偶然r=0.90 となる確率は0.001以下
のようにp値を理解しています。
コインと同様にAとBは相関がないという帰無仮説をたて、計算し偶然r=0.90 になるのは P<0.001という結論を出し、
これだけ確率が低いのだからAとBは相関がないを棄却し、相関係数は0.90は偶然ではない ということでしょうか?

偏っていないのに偶然5回とも表になる確率は5パーセント以下(3パーセント)だから偏っていない という帰無仮説を棄却し
コインは偏っているという結論ですが、P<0.05という決まりがありこれ以下なら帰無仮説は棄却できるということですか?
通常偏っていなと考えて 偏っている という帰無仮説をたててしまったらどうなるのでしょうか?

コインを5回続けて投げて5回とも表がでるとする。
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P<0.05となっているため仮説は棄却
コインは偏っている。

r=0.90 (P<0.001)
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コインと同様にAとBは相関がないという帰無仮説をたて、計算し偶然r=0.90 になるのは P<0.001という結論を出し、
これだけ確率が低いのだからA...続きを読む

Aベストアンサー

 検定ってのは、こういうことです:

(1) 帰無仮説を立てる。(このとき、「通常どう考えるか」なんてことはまるで関係ありません。)
(2) 帰無仮説に基づいて確率論を使い、何らかの統計量に関する定量的な予言を導く。
(3) 実測値を使ってその統計量を計算する。さらに、その結果と予言とのずれが偶然に生じる確率pを計算する。
(4) もしその確率pが小さければ、帰無仮説を棄却し、すなわち帰無仮説の否定(これを「対立仮説」という用語で呼ぶという、変な習慣がありますが)を結論とする。また、もしその確率pが大きければ、帰無仮説は無に帰し、すなわち何も言えない。

 なので、帰無仮説ってものは、
(A) それに基づいて「何らかの統計量に関する定量的な予言を確率論で導く」ことができ、さらに、
(B) 実測値から算出した「結果と予言とのずれが偶然に生じる確率pを計算」できるものであること、
という条件が付きます。
 この条件を満たさない仮説は、帰無仮説として使い物になりません。だから、

> 偏っている という帰無仮説をたててしまったら

「偏っている」というだけでは定量的な予言が何も導けず、当然、(2)から先に進めない。なのでそれは帰無仮説にはならないんです。

 別の見方をしてみましょう。
 そもそも、高々有限回しか行えない実測に基づいて、「このコインには偏りがない」つまり、「表が出る確率は正確に0.5である。0.5以外のどんな数値でもない。もちろん0.500000001でもないし、0.49999999でもない」ということが証明できると思いますか? そんな筈ない。だから、「偏っている」という仮説を立てたって、そんなもんどうしようもないんです。

 検定ってのは、こういうことです:

(1) 帰無仮説を立てる。(このとき、「通常どう考えるか」なんてことはまるで関係ありません。)
(2) 帰無仮説に基づいて確率論を使い、何らかの統計量に関する定量的な予言を導く。
(3) 実測値を使ってその統計量を計算する。さらに、その結果と予言とのずれが偶然に生じる確率pを計算する。
(4) もしその確率pが小さければ、帰無仮説を棄却し、すなわち帰無仮説の否定(これを「対立仮説」という用語で呼ぶという、変な習慣がありますが)を結論とする。また、もしその確率...続きを読む

Q期待値計算

宝くじの期待値について教えて下さい。
宝くじを連番で10枚買ったときの期待値は30円だと思うのですが、
9枚買ったときの期待値はいくらでしょうか?
(10枚中、1枚の当たり金額は300円)
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>宝くじを連番で10枚買ったときの期待値は30円だと思うのですが、
>(10枚中、1枚の当たり金額は300円)

期待値を誤解して理解されていると思います。
10枚中、1枚の当たり金額は300円とは、限りませんよ!
他の等にあたっている場合もありますしね。

宝くじの期待値について、書かれたサイトを見つけましたので、
参照してみてください。

参考URL:http://www5a.biglobe.ne.jp/~bebeshi/main/mm/m000908.htm

Q統計:帰無仮説とp値について

統計の初心者です。
統計学の復習をしていて、帰無仮説が棄却されるときの理由についてわからなくなりました。

配布されたプリントには、こんなふうに書かれています。

●帰無仮説:統計的な推論の出発点になる。最終的には破棄したい仮説。
 多くは、「有意水準」(=そうなる確率)5%で、それ以上なら採択、それ以下なら棄却する。
  =帰無仮説が正しい場合、全く偶然にそれくらい標本統計量が大きい値になってしまう確率

 ・臨界値を超えていない→帰無仮説を採択。
 ・臨界値を超えている→帰無仮説を棄却、対立仮説を採択する。

また、検定について、ネット上では

●無帰仮説が正しいなら滅多に起こらない事象(=この前提が覆るような珍しいケース)が
 発生する確率を計算で求める。
 この「めったに起こらない・起こる」の境界値を「有意水準」と呼び、これを超えた場合は、
 前提とした仮説は間違っていたと解釈。(統計では「棄却」と呼ぶ。)

とあります。

帰無仮説が正しいとした場合、「それが滅多に起こらない」(p<0.05など)というのは、
どちらかというと、帰無仮説を棄却することに繋がりそうに思えるのですが、
この状態で帰無仮説が正しいと言える理由がわかりません。
ですので、「これを超えた場合に帰無仮説が棄却される」という論理もわかりません。

このことについて詳しく教えてくださいませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

統計の初心者です。
統計学の復習をしていて、帰無仮説が棄却されるときの理由についてわからなくなりました。

配布されたプリントには、こんなふうに書かれています。

●帰無仮説:統計的な推論の出発点になる。最終的には破棄したい仮説。
 多くは、「有意水準」(=そうなる確率)5%で、それ以上なら採択、それ以下なら棄却する。
  =帰無仮説が正しい場合、全く偶然にそれくらい標本統計量が大きい値になってしまう確率

 ・臨界値を超えていない→帰無仮説を採択。
 ・臨界値を超えている→帰...続きを読む

Aベストアンサー

ANo.1の追加説明です。
 ご覧のプリントに限らず、デタラメな説明がろくに考えもせずに垂れ流されているでしょうかね。嘆かわしいことです。

 「帰無仮説」は、棄却されれば否定され、棄却されなければ何も言えない。だからいずれにせよ「成り立つ」ということは決してない。そういう悲しい運命にふさわしいネーミングです(笑。「証明したいことが無に帰す」なんてコジツケじゃありません(晋ちゃんの答弁じゃあるまいし)。

 「帰無仮説を棄却するという判断が誤りである確率p」は帰無仮説から導く。もっぱらそのためにこそ、帰無仮説というものが使われます。どういうことかと言うとですね:
 ANo.1のコインの話なら、「表が50%・裏が50%だ」と表明している帰無仮説は、もっと厳密に言いますと「毎回のコイントスは独立である(過去に出た結果とは無関係である)。そして、毎回のコイントスで表・裏が出る確率は一定のままである」ということも含意しているんです。
 で、これらの仮定から、確率論によって「表・裏がでる頻度は二項分布に従う」ということが帰結できる。なので、たとえば「10回トスしたら表が1回、裏が9回出た」という実験結果があれば、「二項分布に従い表が出る確率が50%である実験において、『10回中表が1回だけ出ないか、それ以上に珍しいこと』が偶然生じる確率pが幾らであるか」が確率論で計算できる。
 そういう仕掛けです。ですからもちろん(帰無仮説が「実験結果は正規分布に従う」ということを含意していないのなら)有意水準と正規分布とは無関係です。

 なお、「確率統計」だなんていい加減な表現がしばしば使われますけれども、両者は全くの別物です。
 確率論は「仮定が(完璧に)成り立つ場合に、どんな確率が生じるか」を計算する、揺るぎない数学です。もちろん、その仮定が現実に成り立ってるのかどうか、という心配については一切扱わない。
 一方、統計は実験や過去の経験に基づき、それに確率論を応用することによって、現実がどうなってるかについて推測を行うものであって、これは数学ではない。

ANo.1の追加説明です。
 ご覧のプリントに限らず、デタラメな説明がろくに考えもせずに垂れ流されているでしょうかね。嘆かわしいことです。

 「帰無仮説」は、棄却されれば否定され、棄却されなければ何も言えない。だからいずれにせよ「成り立つ」ということは決してない。そういう悲しい運命にふさわしいネーミングです(笑。「証明したいことが無に帰す」なんてコジツケじゃありません(晋ちゃんの答弁じゃあるまいし)。

 「帰無仮説を棄却するという判断が誤りである確率p」は帰無仮説から導く。もっぱ...続きを読む

Qさいころの目の出方の期待値が全くわかりません。教えてください。

さいころの目の出方の期待値が全くわかりません。教えてください。
問.1個のさいころを投げて、1の目が出れば100円、2の目が出れば200円をそれぞれ支払い、それ以外のときは150円もらうことにした。このとき、受け取る金額の期待値はいくらか。

回答.
期待値は何がなんだかわかりません。
期待値はこの場合は円が単位ですよね。
どのくらい期待できるかというものを数字に置き換えていると思っていいですか。
または、だいたいこのくらいになるだろうという予想を数値にしていると思うほうですか。

昨日は期待値の定義に当てはめてやりましたが、よくわかりません。
昨日の質問へのお礼と疑問をこれから書き込みます。
早めに問題だけ先に投稿しました。

本に載っている下の定義に沿って教えていただくとありがたいです。

期待値=χ1p1×χ2p2×・・×χnpn
ある試行によって定まる値?が幾つかの値をとる・・χ1 χ2・・χn
それぞれの値をとる確率が・・・・・・・・・・・ p1 p2・・pn

昨日は
p1+p2+・・+pn=1
の条件を書き忘れました。

さいころの目の出方の期待値が全くわかりません。教えてください。
問.1個のさいころを投げて、1の目が出れば100円、2の目が出れば200円をそれぞれ支払い、それ以外のときは150円もらうことにした。このとき、受け取る金額の期待値はいくらか。

回答.
期待値は何がなんだかわかりません。
期待値はこの場合は円が単位ですよね。
どのくらい期待できるかというものを数字に置き換えていると思っていいですか。
または、だいたいこのくらいになるだろうという予想を数値にしていると思うほうですか。

昨...続きを読む

Aベストアンサー

同じことを何度も繰り返したとき、1回当たりに期待できる数値と理解しています。

その問題で言うと、6回試行した場合に、確率どおりに目が出たとすると1~6までそれぞれ1回ずつ出ることになります。
するともらえる金額は、合計で(-100)+(-200)+150+150+150+150=300となりますから、1回当たりの平均は300/6=50円ということになります。
これを{(-100)+(-200)+150+150+150+150}/6=(-100)*(1/6)+(-200)*(1/6)+150*(1/6)+150*(1/6)+150*(1/6)+150*(1/6)とすれば、期待値の定義どおりになります。
同様に、無限に試行した場合を考えると、それぞれの目は全体の1/6ずつ出ているはずですから(そうでないとしたら確率が間違っている、偏ったサイコロであったと言うことになります)、1回当たりの平均を出そうとしたら、期待値の定義のように計算すればよいとわかると思います。

Q最大値の期待値が元の数の期待値を上回る証明

x1,x2は正規分布しているとします.

z=max(x1,x2)

と,いずれかの最大値を選択するとします.
(x1から2つサンプリングしてもいいのですが・・・)

このとき,それぞれの期待値について次の関係,

E(z)>=E(x1)
E(z)>=E(x2)

が成立することを証明せよ.という問題を教えて下さい.

ガンマ関数とか使う解法はネットで見つけたのですが,
図形的とか,わかりやすい証明はできないでしょうか?

Aベストアンサー

何度もごめんなさい。期待値の単調性が使えるなら、z≧x1から直接
E[z]≧E[x1]
が導けてしまいますね・・・。ですから、No.3での証明はとても変でした。

No.1で意図していたのは、「常に非負の値をとる確率変数の期待値は非負になる」ことから
E[z-x1]≧0
を得て、期待値の線型性から、左辺が
E[z]-E[x1]
となって、結局
E[z]≧E[x1]
となることがわかるというものでした。すみません。

Q期待値の計算はどのように行うでしょうか?

期待値の計算はどのように行うでしょうか?

あるサイトに載っていたExcelのシートでは、

期待値 = 勝率 × (勝率 × 利益) ÷ ((1 - 勝率) × 損失) - (1 - 勝率)

となっていました。

またあるサイトのExcelシートでは、

期待値 = 勝率 × 利益 ÷ 損失 - (1 - 勝率)

でした。

またあるサイトでは、

期待値 = 勝率 × 利益 - 損失 × (1 - 勝率)

となっていました。

どれが正しいのでしょう?
どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

一回のトレードに対する期待値={勝率*平均利益-(1-勝率)*平均損失}/トレード回数

となります。

Qサイコロを繰り返し振って1の目がr回連続して出るまでの振る回数の期待値

(1)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「1の目が」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値に興味を持っています。

また問題文を少し変更したものにも興味があります。
(2)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「どんな目でもいいので」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。

(3)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「1の目が」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。

(4)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「どんな目でもいいので」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。

nに関する漸化式を立てようとしたのですが、ややこしくてうまくいきません。
ご存知の方は教えていただけないでしょうか?

写像で言うと次のような写像(数列)における性質を考えています。
f:{1,2,3,…}→{1,2,3,…,m}

(1)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「1の目が」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値に興味を持っています。

また問題文を少し変更したものにも興味があります。
(2)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「どんな目でもいいので」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。
n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。

(3)1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。
「1の目が」総計でr回出た...続きを読む

Aベストアンサー

#2の回答を踏まえると、r=2の時
・・・11
となった瞬間に終わることが分かるはずです。このとき、
・・・
部分には…11…となる部分を含みません。したがって
q(n) = [1 - Σ_{k=1, n} q(k-2)] * (1/m)^2
となるはずです。つまり、[1-{q(0)+q(1)+...+q(n-1)}]の確率で n-1 個目がひけて、それが1であり、かつ最後(n個目)が1である確率ということです。
(1/m)^2をかけたものになる、ということです。

あとはこの数列を、q(0)=q(1)=0 として解けば良いでしょう。

これをrを2よりも大きくしても解くことはできると思いますが、計算は結構大変です。

因みに#1は、ポアソン分布を使うということで結局は同じ事をしています。


(2)は、n-1個目が何でも良いので、
q(n) = [1 - Σ_{k=1, n} q(k-1)] * (1/m)
となり、n個目がひけて、その最後の1個がn-1個目と同じである確率を求めれば良いことになります。


(3)は、n>=rは自明なので、k<rではp(k)=0は良いと思います。そして、最後の n 回目には 1 が来ることも良いと思います。
したがって、例えばr=2 のとき
...1....1
となります。つまり、n-2個ある...の部分に1が入らない確率を求めれば良いわけです。その確率は(1 - 1/m)^(n-2)です。このn-2個の中の数字の列の間に、1 がr-1個(一個は最後のn個目に指定されているので)が挟まれば良く、挟まることの出来る場所は n-r+1 個あります。途中で連続していても良いので、同じ場所に複数個挟まっても構わないのは分かると思います。
したがって、n個目で終わる確率は
q(n) = [(n-r+1)^(r-1) (1 - 1/m)^(n-r)] * (1/m)^r
となります。

(4)についても(3)と同じで解ける、はず、なのですが、計算が大変すぎてどうにもなりません。数値的に解いた方が、おそらく早いでしょう。

#2の回答を踏まえると、r=2の時
・・・11
となった瞬間に終わることが分かるはずです。このとき、
・・・
部分には…11…となる部分を含みません。したがって
q(n) = [1 - Σ_{k=1, n} q(k-2)] * (1/m)^2
となるはずです。つまり、[1-{q(0)+q(1)+...+q(n-1)}]の確率で n-1 個目がひけて、それが1であり、かつ最後(n個目)が1である確率ということです。
(1/m)^2をかけたものになる、ということです。

あとはこの数列を、q(0)=q(1)=0 として解けば良いでしょう。

これをrを2よりも大きくしても解くことは...続きを読む

Q期待値

白球と赤球がそれぞれ5個ずつ計10個と、白箱て赤箱がそれぞれ5箱ずつ計10箱とがある
10箱の各箱に1球ずつ無作為に入れるとき、箱とその中に入っている球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ


同じ色の箱に入るを1、同じ色の箱に入らないを0とすると白球が白箱に入る期待値が1/2だから10球で期待値は1/2×10=5というのは合ってるのでしょうか?1回ごとの期待値をn回足せばn回の期待値になるという定理があるから正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

泥臭く解いてみました。

箱の位置は横並びで、左から白5個、赤5個とします。
この10個の箱に10個の区別できる球を入れる入れ方は
10P10

10箱に入る球の色パターンは数は

1) 白箱に白玉5個、赤箱に赤玉5個 (5C5)^2 = 1 一致個数 10
2) 白箱に白玉4個、赤箱に赤玉4個 (5C4)^2 = 25 一致個数 8
3) 白箱に白玉3個、赤箱に赤玉3個 (5C3)^2 = 100 一致個数 6
4) 白箱に白玉2個、赤箱に赤玉2個 (5C2)^2 = 100 一致個数 4
5) 白箱に白玉1個、赤箱に赤玉1個 (5C1)^2 = 25 一致個数 2
6) 白箱に白玉0個、赤箱に赤玉0個 (5C0)^2 = 1 一致個数 0

1)~6) の各パターンでの場合の数は、赤玉と白玉の位置が決まっているので
赤の入れ方 5P5 X 白の入れ方 5P5 = (5P5)^2

従って期待値は
((5C5)^2・10+(5C4)^2・8+(5C3)^2・6+(5C2)^2・4+(5C1)^2・2+(5C0)^2・0)・(5P5)^2/10P10
=(1260)・5P5/10P5 = 1260 / 252 = 5

計算の具合からして組み合わせでも解けそうですが、各場合の確率が等しいことを
示すのがめんどくさそう。

>同じ色の箱に入るを1、同じ色の箱に入らないを0とすると白球が白箱に入る期待値が1/2だから

何かうまい手があってこの理屈を展開できるような気がするのですが、うまい裏付けが
思いつかないです。不勉強なだけかも(^^;

泥臭く解いてみました。

箱の位置は横並びで、左から白5個、赤5個とします。
この10個の箱に10個の区別できる球を入れる入れ方は
10P10

10箱に入る球の色パターンは数は

1) 白箱に白玉5個、赤箱に赤玉5個 (5C5)^2 = 1 一致個数 10
2) 白箱に白玉4個、赤箱に赤玉4個 (5C4)^2 = 25 一致個数 8
3) 白箱に白玉3個、赤箱に赤玉3個 (5C3)^2 = 100 一致個数 6
4) 白箱に白玉2個、赤箱に赤玉2個 (5C2)^2 = 100 一致個数 4
5) 白箱に白玉1個、赤箱に赤玉1個 (5C1)^2 = 25 一致個数 2
6) 白箱に白玉0個、赤箱に赤玉...続きを読む

Q帰無仮説を用いた確率の問題

以下の問題を解いてみたのですが、これでいいか自信がありません。
わかるかた、ご指導のほど、よろしくお願いします。

【問題】
ある硬貨を8回投げたところ、表が6回、裏が2回出た。
この硬貨について「表が出る確率が1/2である」という仮説を
有意水準10%で検定せよ。

【自分の解答】
帰無仮説:硬貨の表裏が出る確率に差はない。(p=0.5、両側検定、危険水準α=0.10)
上記の仮説を検証する。

表が6回以上出る確率を計算する。
P(n)=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)より、

・表が6回
P(n)=(8!/(6!・2!))(1/2)^6・(1/2)^(8-6)
=((8・7・6・5・4・3・2)/(6・5・4・3・2・2))・(1/2)^8
=(28/256)=(7/64)…(1)

・表が7回
P(n)=(8!/(7!・1!))(1/2)^7・(1/2)^(8-7)
=((8・7・6・5・4・3・2)/(7・6・5・4・3・2))・(1/2)^8
=(8/256)=(1/8)…(2)

・表が8回
P(n)=(8!/(8!・0!))(1/2)^8・(1/2)^(8-8)
=((8・7・6・5・4・3・2)/(8・7・6・5・4・3・2))・(1/2)^8
=(1/256)…(3)

(1)(2)(3)を合計すると、(7/64)+(1/8)+(1/256)=(37/256)
両側検定なので、2倍して(37/128)=0.2890625
よって、危険水準を大きく超えている為、金仮設は破棄されない。
つまり、効果の表裏が出る確率には有意な差はなく、
偶然6回表が出るという仮説は排除できない。

以上、よろしくお願いします。

以下の問題を解いてみたのですが、これでいいか自信がありません。
わかるかた、ご指導のほど、よろしくお願いします。

【問題】
ある硬貨を8回投げたところ、表が6回、裏が2回出た。
この硬貨について「表が出る確率が1/2である」という仮説を
有意水準10%で検定せよ。

【自分の解答】
帰無仮説:硬貨の表裏が出る確率に差はない。(p=0.5、両側検定、危険水準α=0.10)
上記の仮説を検証する。

表が6回以上出る確率を計算する。
P(n)=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)より、

・表が6回
P(n)=(8!/...続きを読む

Aベストアンサー

計算は合ってるんじゃないですか?

帰無仮説「表が出る確率が1/2である」は棄却出来ないんで、結論は

「表が出る確率は1/2でないとは言えない」

で十分だと思います。
ただし、これは「表の出る確率は1/2である」って言ってるわけではない事だけに注意して下さい。


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