複素数の質問です。原点をOとする複素数平面上において、複素数α、βを表す点をそれぞれA,Bとする。
α、βが次の二式を満たす時、次の問いに答えよ。 ただし、iは虚数単位

|α|=2
2(1+i)α−(√3+i)β=0

(1) |β|を求めよ。

この問題を解いてほしいです
答えがないですが考え方でも教えてくれると助かります

A 回答 (3件)

2(1+i)α−(√3+i)β=0


2(1+i)α=(√3+i)β
|2(1+i)α|=|(√3+i)β|
|2||(1+i)||α|=|(√3+i)||β|
2・√(1^2+1^2)・2=√{(√3)^2+1^2}・|β|
2・√2・2=2|β|
|β|=2√2

|αβ|=|α||β|
を使って解けばよい
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|α|=2…①


2(1+i)α−(√3+i)β=0…②

②式を変形する
β=2(1+i)α/(√3+i)
さらに分母を実数にする
β=2(1+i)(√3-i)α/((√3+i)(√3-i))
β=2(1+i)(√3-i)α/4
β=(1+i)(√3-i)α/2
β=((√3+1)+(√3-1)iα)/2
|β|=|(√3+1)+(√3-1)i||α|/2
上式に①式を代入する
|β|=|(√3+1)+(√3-1)i|2/2
|β|=|(√3+1)+(√3-1)i|

|β|=|√((√3+1)^2+(√3-1)^2)|

|β|=|√(4+2√2)+(4-2√2)|
|β|=|√8|
|β|=2√2が求まる。
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|α|=2


ということは、
 α = 2sinθ + 2icosθ
と書けます。

これを第2式に代入すれば
 2(1+i)( 2sinθ + 2icosθ )−(√3+i)β
= 4sinθ + 4icosθ + 4isinθ - 4cosθ - (√3+i)β
= 4[(sinθ - cosθ) + i(sinθ + cosθ)] - (√3+i)β
= 0

つまり
 β = 4[(sinθ - cosθ) + i(sinθ + cosθ)] / (√3+i)
  = 4[(sinθ - cosθ) + i(sinθ + cosθ)]* (√3-i) / 4
  = [(sinθ - cosθ) + i(sinθ + cosθ)]* (√3-i)
  = [ √3(sinθ - cosθ) + (sinθ + cosθ)] + i[√3(sinθ + cosθ) - (sinθ - cosθ)]
  = [ (√3 + 1)sinθ - (√3 - 1)cosθ ] + i[ (√3 - 1)sinθ + (√3 + 1)cosθ ]

よって
 |β|^2 = [ (√3 + 1)sinθ - (√3 - 1)cosθ ]^2 + [ (√3 - 1)sinθ + (√3 + 1)cosθ ]^2
    = (√3 + 1)^2 * sin^2θ - 2sinθcosθ + (√3 - 1)^2 * cos^2θ + (√3 - 1)^2 * sin^2θ + 2sinθcosθ + (√3 + 1)^2 * cos^2θ
    = (√3 + 1)^2 + (√3 - 1)^2
    = 8
∴ |β| = 2√2

計算違いがあるかもしれませんので、ご自分でも計算してみてください。
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Aベストアンサー

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