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数学の質問です!




連立不等式の解は必ずそれぞれの不等式の解に共通の範囲がないとダメなのでしょうか?

そもそも連立不等式とはどう言った概念なのでしょうか?

お時間に余裕があれば御回答宜しくお願い致します!

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A 回答 (4件)

なくてもよいです。


 連立不等式の前に連立方程式が身についていない。
要は次のような関係式
x + 2y + 3z = 6
2x + 5y + 4z = 11
3x + 3y +7z = 18
 これって、成り立つ解がありません。一方
x + 2y + 3z = 6
2x + 5y + 4z = 11
3x + 3y + 7z = 17
 この場合は、zが何であっても成り立ってしまいます。

連立方程式の場合は、
・解が一意に求まる
・解自体が存在しない
・複数の値で成り立つ
これは
・解自体が存在しない  不能
・複数の値で成り立つ  不定
と言いましたね。

>連立不等式の解は必ずそれぞれの不等式の解に共通の範囲がないとダメなのでしょうか?
 同様に、
範囲を示す解が存在する
成り立つ範囲がない
全て成り立ってしまう
 があるということ。
お金を持っている
お金を0円を超えて持っている
 ・・・みんな当てはまっちゃう 不定

100円以上のお金を持っている
お金を10円以下しか持っていない
 ・・・解がない        不能
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共通の範囲がなくてもかまいません。



連立不等式は、
すべての不等式を満足させる数の集合を決定しなさい。
と言う問題ですから、共通範囲が無い場合は、空集合が解となります。

答え;Φ
とか
答え;空集合
と書けばよい。
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資産が10億円以上あって、且つ、資産が10万円以下しか無い人、


はいませんよね。
資産が10億円以上あって、且つ、資産が20億円以上ある人、
なら居るかもしれませんが。
これをグラフにすれば、
y≧10^9 且つ y≦10^5
なんて領域は無いでしょう。
y≧10^9 且つ y≧2×10^9
ならあるでしょうけど。

(1) y>0 且つ y≦2x+8 且つ y≦-x+10
(2) y>0 且つ y≦x+2 且つ y>3x+5

正三角形の内部、というと、例えば、
(3) y>0 且つ y≦(√3)x+√3 且つ y≦(-√3)x+√3
かな。

数直線上、x軸上で、x>1 というと、1より大きい線全部ですよね。(且つ y=0、としておけば良いでしょう)
x=1なら点。
ところが数直線でも無いなら、面や立体になっちゃう。
x>1 且つ y=0、でも、z軸を想定するなら、面になっちゃう。
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ただの連立不等式なら「共通部分が無いと」意味がありません。


<、>、≦、≧、どれでも同じです。
非常に簡単な例では、式1の範囲が全て負の領域で式2の領域が全て正の領域だったら、答えは「空」になるでしょう。
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質問 数学」に関するQ&A: 数学の質問です

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Q数I 連立不等式の整数解の条件

以下の問題の解答例の最後の部分で何故こうなるのか、わからない部分があります。


【問題】

連立不等式 3x-7≦5x-3・・(1) 2x-6<3a-x・・(2)  の解について、整数がちょうど3個含まれる場合の定数aの範囲を求めよ。

【解答例】
 (1)を解くと x≧-2

 (2)を解くと x<a+2

 (1)、(2)の共通範囲は -2≦x<a+2

 これを満たす整数xがちょうど3個あるとき、その値は x=-2、-1、0 であるから、

 a+2 が満たす条件は 0<a+2≦1・・・・★

 各辺から2を引いて -2<a≦-1

 
 ★マークの部分、不等号に=が付く位置についてがよくわかりません。
 私は、整数解が0を含むので 0≦a+2<1 となるのでは?と考えました。
 また、1を含んでしまうと正数解は4個になるのでは?とも思いました。

 なぜ、私の考え方が間違いで、正解が解答例のようになるのかご教示ください。

Aベストアンサー

-2≦x<a+2
テスト等の時には、いくつか具体的に数字を入れて想像してみるのが良いでしょう。

-2≦x< -0.1 ・・・解-2、-1
-2≦x<0     ・・・解-2、-1
-2≦x<0.1   ・・・解-2、-1、0
つまり、0より少しだけ大きい数でないと、整数解に0が入ってこない。
0はダメ。
→ 0≦ ではなく 0< (等号含まない)。

-2≦x<0.9 ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1    ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1.1 ・・・解-2、-1、0、1
つまり、1より少しだけ大きい数になると、整数解に1が入ってきてしまう。
<1 にした時はまだ、解に1を含まないのでぎりぎりセーフ(ここが確かにわかりにくいところですね)。
→ ≦○ ではなく <○ ・・・と考えない。上と違って、こう考え始めるとわけがわからなくなる。
正しくは、注目すべきは、
0.9だと解に1が入らなくて、1でも解に1が入ら「ない」、ということ。
つまり<○の○は、1を含む、ということ。

だから
0<a+2≦1
になるのです。


少し視点を変えましょう。
0≦a+2<1 と考えたのでしょう。
正解と異なるのは (1)左の数字 0を含む (2)右の数字 1を含まないですね。
ではまず、
a+2=0 となる場合を考えましょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<0 となります。
ほら、x=0とはならなず、解は2つだけですね。

次にa+2=1未満 となる場合を考えましょう。こちらの方が考えにくいです。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<1より微妙に小さい値 となります。
これは正しいです。x=-2、-1、0となります。
でも、未満じゃなくてa+2=1 だったらどうでしょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<1 となります。
こうやって具体的に書くと、x=-2、-1、0という条件を満たすことがわかりませんか。
a+2 に1を含んでも、xは「その数未満(<)」なので、正数解は4個にはなりません。

そして、上の方に書いた考え方に戻って、
「では、1より微妙に大きい値、1.1では?」
という検証に続くのです。


よくこういう不等号の問題は、数直線の○とか●で含むとか含まないとかやると思いますけど、数直線も万能ではないんです。むしろ、「わざと微妙に小さな/大きな値を考え」て、それがアウトかセーフかを考えた方が、訓練になるでしょう。

-2≦x<a+2
テスト等の時には、いくつか具体的に数字を入れて想像してみるのが良いでしょう。

-2≦x< -0.1 ・・・解-2、-1
-2≦x<0     ・・・解-2、-1
-2≦x<0.1   ・・・解-2、-1、0
つまり、0より少しだけ大きい数でないと、整数解に0が入ってこない。
0はダメ。
→ 0≦ ではなく 0< (等号含まない)。

-2≦x<0.9 ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1    ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1.1 ・・・解-2、-1、0、1
つまり、1より少しだけ大...続きを読む

Qとりうる値の範囲(数I・A)を教えてください

<問題>
連立不等式 7x-8<5x+3≦6x+3a+2 を満たすxの整数値が5のみとなるように、aの値の範囲を定めよ。

<過程>
7x-8<5x+3 から、x<11/2・・・(1)(とします)
5x+3≦6x+3a+2 から、x≧1-3a
題意より、4<1-3a≦5・・・(2)(とします)
よって、-4/3≦a<-1 となる。

<質問>
1.(1)はせっかく導き出されたのに使われないのですか?
2.(2)の4がどこから出てきたのか教えてください。

よろしくお願します。

Aベストアンサー

> 7x-8<5x+3 から、x<11/2・・・(1)(とします)
> 5x+3≦6x+3a+2 から、x≧1-3a

連立不等式の解は、1-3a≦x<11/2 となります。

> 題意より、4<1-3a≦5・・・(2)(とします)

この場合の題意は、「連立不等式の解に含まれるxの整数値が5のみである」ことをさしています。
(2)の式については、数直線を使うと導きやすくなります。
(No.1さんの回答にもかかれていますね)
1-3aが4以下であれば、連立不等式の解に4がふくまれることになります。
そのため、1-3aは4より大となります。
また、1-3aが5以下でないと、連立不等式の解に5がふくまれなくなります。
よって、1-3aは5以下となります。

> よって、-4/3≦a<-1 となる。

Q連立不等式を満たす整数の個数 問題

Xについて2つの2次不等式
x^2-(a+3)x+3a<0…(1)
2x^2+3x-2>0…(2)
を同時に満たす整数xがちょうど2つに存在するように、
定数aにの値の範囲を求めよ。

という問題が解けなくて困っています。
やり方からわからないので解説を交えて回答していただけたら嬉しいです。

Aベストアンサー

(1)(2) を、それぞれ別に解いて、
 (1) ⇔ ( 3<x<a または a<x<3 )
 (2) ⇔ ( x<-2 または 1/2<x )
となるのは、解ったんでしょうね?

解らなければ、教科書で「二次不等式」を確認。
応用問題は、基本を理解してからです。

(1)(2) が解けたら、
 (1) ⇔ 3<x<a となるか
 (1) ⇔ a<x<3 となるかに注目して、
3<a か a<3 かで場合分けします。

(A) 3<a の場合、
3<x<a かつ ( x<-2 または 1/2<x ) の範囲に
整数 x が 2 個あればよいです。
この範囲は 3<x<a と整理できますから、 ←(A*)
x = 4, 5 を解に持ち、x = 6 は解でないように、
5<a≦6 が a の範囲となります。

(B) a=3 の場合、
(1) を満たす x が無いので、
(1)(2) の解は 2 個にはなりません。

(C) a<3 の場合、
a<x<3 かつ ( x<-2 または 1/2<x ) の範囲に
整数 x が 2 個あればよいです。
この範囲は a<x<-2 または max{a,1/2}<x<3
と整理できますから、 ←(C*)
x = 1, 2 を解に持ち、x = -3 は解でないように、
-3≦a<1 が a の範囲となります。

(A)(B)(C) を併せて、
解は -3≦a<1 または 5<a≦6 です。

(A*)(C*) の内容がピンと来ないならば、
数直線を描いてみるとよいです。

(1)(2) を、それぞれ別に解いて、
 (1) ⇔ ( 3<x<a または a<x<3 )
 (2) ⇔ ( x<-2 または 1/2<x )
となるのは、解ったんでしょうね?

解らなければ、教科書で「二次不等式」を確認。
応用問題は、基本を理解してからです。

(1)(2) が解けたら、
 (1) ⇔ 3<x<a となるか
 (1) ⇔ a<x<3 となるかに注目して、
3<a か a<3 かで場合分けします。

(A) 3<a の場合、
3<x<a かつ ( x<-2 または 1/2<x ) の範囲に
整数 x が 2 個あればよいです。
この範囲は 3<x<a と整理できますから、 ←(A*)
x = 4, 5 を解に持ち...続きを読む

Q二次関数の場合分けの上手な考え方

二次関数のグラフの場合分けで、
最大・最小をxの変域を考えて求める問題がいまいち上手くできないので困っています
(たとえばこんな問題です)

問.
f(x)=x2-ax+4(0≦x≦1)の最小値を求めよ。

このような場合、まず考えられるx軸の位置をすべて作図(簡単に)して解いていけばいいのでしょうか??

よろしくお願いします。

ちなみに、私の文章力がないので表現が曖昧になっていて、あまり質問の内容がわかりにくいと思います。
私がわからないのは、一応問題は解けるのですが、時間がとてもかかってしまいます。
そのため、この手の問題を解くためのテクニックを教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

>f(x)=x2-ax+4(0≦x≦1)の最小値を求めよ。
>このような場合、まず考えられるx軸の位置をすべて作図(簡単に)して解いていけばいいのでしょうか??

 その通りです.原則として,どんなに問題に慣れても,位置関係を表すグラフはかきましょう.

>私がわからないのは、一応問題は解けるのですが、時間がとてもかかってしまいます。
そのため、この手の問題を解くためのテクニックを教えていただければ幸いです。

 時間がかかるという気持ちはすごく分かります.テクニックというほどでもありませんが,
押さえておくと,場合分けの思考がラクになるものはあります.
たとえば,今回の問題のように x^2 の係数が定数のときは,グラフが
下に凸か,上に凸か決まってしまうので,場合分けは比較的簡単にできます.

この場合はx^2の係数が定数で,0 ≦ x ≦ 1 なので,最小値をとるのは,
 (1) 軸 x = a/2
 (2) x = 0
 (3) x = 1
のどれかのパターンしかありません.
これを踏まえて場合分けの条件を考えると,
(1)で最小値をとるのは,軸が 0 ≦ x ≦ 1 にあるとき.これは簡単.
(2)で最小値をとるのは,軸が 0 ≦ x ≦ 1 になくて,
x = 0 とx = 1 のうち軸から近い方が x = 0 となるときなので,
軸 x = a/2 が 0 ≦ x ≦ 1 の左側,つまり,a/2 < 0 となるとき.
(3)で最小値をとるのは,軸が 0 ≦ x ≦ 1 になくて,
x = 0 とx = 1 のうち軸から近い方が x = 1 となるときなので,
軸 x = a/2 が 0 ≦ x ≦ 1 の右側,つまり,a/2 > 1 となるとき.

という風に考えることができるので,「考えられるx軸の位置をすべて作図」
ときに考える思考が若干ラクになるでしょう.

最大値を求めるときも,同じような考え方で若干ラクができます.
上の問題で最大値をとるのは,
 (1) x = 0
 (2) x = 1
の2パターンしかありません.
二次関数が軸に関して左右対称のグラフであることを考えると,
軸が 0 ≦ x ≦ 1 の中間より左右のどちらにあるか,つまり,
a/2 ≧ 1/2 のとき,(1)で最大
a/2 < 1/2 のとき,(2)で最大
となります.

最後に,x^2 の係数が定数ではなく,a の場合は,最初に
  a > 0 , a < 0
で場合分けをして,その範囲の中で,上の考え方を用いれば
基本的には比較的ラクになると思います.実践してみてください.

>f(x)=x2-ax+4(0≦x≦1)の最小値を求めよ。
>このような場合、まず考えられるx軸の位置をすべて作図(簡単に)して解いていけばいいのでしょうか??

 その通りです.原則として,どんなに問題に慣れても,位置関係を表すグラフはかきましょう.

>私がわからないのは、一応問題は解けるのですが、時間がとてもかかってしまいます。
そのため、この手の問題を解くためのテクニックを教えていただければ幸いです。

 時間がかかるという気持ちはすごく分かります.テクニックというほどでもありませんが...続きを読む

Q数学Ι 絶対値を2つ含む不等式

度々すいません^^;
不等式|x+1|+|x-2|<5はどうやって解くのでしょうか?
過去の質問で場合分けする、というのをみたんですけど良く分かりません。
絶対値が一つだったら分かるんですが…場合分け^^;
2個になるとどうとけば良いのでしょう?

Aベストアンサー

|x+1|と|x-2|を別々に考えます。

|x+1|は、
 x<-1のとき、-(x+1),
 x≧-1のとき、(x+1)


|x-2|は、
 x<2のとき、-(x-2)
 x≧2のとき、(x-2)


したがって、
(1) x<-1のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 -(x+1)+{-(x-2)}<5
  -x-1-x+2<5
       -2x<4
        x>-2
 ここで、前提がx<-1の場合であることから、-2<x<-1 …(A)


(2)-1≦x≦2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+{-(x-2)}<5
     x+1-x+2<5
        3<5
 これは、常に成り立つが、
 前提が-1≦x≦2の場合であることから、-1≦x≦2 …(B)


(3)x>2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+(x-2)<5
   x+1+x-2<5
      2x<6
      x<3
 ここで、前提がx>2の場合であることから、2<x<3 …(C)


(A),(B),(C)をまとめると、この不等式の答え、
すなわち、-2<x<3が求められます。

|x+1|と|x-2|を別々に考えます。

|x+1|は、
 x<-1のとき、-(x+1),
 x≧-1のとき、(x+1)


|x-2|は、
 x<2のとき、-(x-2)
 x≧2のとき、(x-2)


したがって、
(1) x<-1のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 -(x+1)+{-(x-2)}<5
  -x-1-x+2<5
       -2x<4
        x>-2
 ここで、前提がx<-1の場合であることから、-2<x<-1 …(A)


(2)-1≦x≦2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+{-(x-2)}<5
     x+1-x+2<5
        3<5
 これは、常に成り...続きを読む

Q不等式、連立方程式、連立不等式の問題

みなさんレベルが高い質問ばかりで恥ずかしいのですが一次不等式と連立方程式の問題がわかりません。問題は以下のとおりです。
1.xについての不等式3x-5>=6a+4の解がx>0に含まれるとき,aの値の範囲を求めなさい。
2.15%の食塩水xgと6%の食塩水ygを混ぜ、さらに水を30g加えたところ、9%の食塩水270gができた。それぞれ何gずつ混ぜればよいか。
3.xについての連立不等式9-x<=2x<=2aを満たす自然数が4個あるとき、aの値の範囲を求めなさい。

2番は30gの水が加えられたことにやり方がわからなくなってしまいました。1、3番はやり方がわからないのです。よろしくお願いします

Aベストアンサー

ヒントを
1.
 3x-5>=6a+4 で x>0 ですから 3*0-5>6a+4 となり
途中でなぜ=が無くなるかは x=0が範囲外だから x=0も含まれていれば =が残る

2.
15%の食塩水xgと6%の食塩水ygを混ぜ で 食塩の量が求められる
水30gを加えて 270gだから x+y+30=270
270gの食塩水の濃度は9%であるから 食塩の量は Zは Z=270*0.09
Z=x*0.15+y*0.06

3.
9-x<=2x<=2a は 9-x<=2x・・9<=3x と 2x<=2a の二つに分け 二つを満たす 自然数が4個ある と考える
3<=x で x<=a であるので x<=a<(=)x+? 


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