ガウス記号と格子点数の極限

【問題】
a、mは自然数でaは定数とする。xy平面上の点(a, m)を頂点とし、原点と点(2a, 0)を通る放物線を考える。
この放物線とx軸で囲まれる領域の面積をS_m、この領域の内部および境界線上にある格子点の数をL_mとする。このとき極限値lim(m→∞) L_m/S_mを求めよ。
ただし、xy平面上の格子点とはその点のx座標とy座標がともに整数となる点のことである。

【注】
「L_m」などはLの右下に添字mがあることを意味します。
「[f(k)]」はガウス記号を意味します。

【解答】
題意の2次関数を、y=f(x)=p*x*(x-2a)とおく。
これは頂点(a, m)を通るので、m=f(a)=p*a*(-a)　p=(-m)/a^2
∴f(x)=((-m)/a^2)*x^2+((2m)/a)*x　(a, m：自然数)
放物線y=f(x)とx軸とで囲まれる部分の面積S_mは
S_m=∫(0~2a) (((-m)/a^2)*x^2+((2m)/a)*x)dx=(4am)/3
この領域内における直線x=k上の格子点数をl_kとおくと、l_k=[f(k)]+1
ここで、f(k)-1<[f(k)]≦f(k)
よって、f(k)<l_k≦f(k)+1　(k=0, 1, ･･･, 2a)
Σ(k=0~2a) f(k)<Σ(k=0~2a) l_k≦Σ(k=0~2a) {f(k)+1}　･･････①
(i) Σ(k=0~2a) f(k)=((-m)/a^2)*k^2+((2m)/a)*k
=((-m)/a^2)Σ(k=0~2a) k^2+((2m)/a)Σ(k=0~2a) k
=((-m)/a^2)*(1/3)*a*(2a+1)*(4a+1)+((2m)/a)*a*(2a+1)
=(m*(4a^2-1))/(3a)
(ii) Σ(k=0~2a) {f(k)+1}=Σ(k=0~2a) f(k)+Σ(k=0~2a) 1
=(m*(4a^2-1))/(3a)+2a+1
以上(i)(ii)より、①は、
(m*(4a^2-1))/(3a)≦L_m≦(m*(4a^2-1))/(3a)+2a+1
各辺を(4am)/3で割って、まとめると
(4a^2-1)/(4a^2)≦L_m/S_m≦(4a^2-1)/(4a^2)+(3*(2a+1))/(4am)
ここでm→∞のとき、lim(m→∞) (3*(2a+1))/(4am)=0より、はさみうちの原理を用いて、
lim(m→∞) L_m/S_m=(4a^2-1)/(4a^2)　･････････(答)


【質問】
この手のはさみうちの原理を使う解答に多いと思うのですが、
Σ(k=0~2a) f(k)<Σ(k=0~2a) l_k≦Σ(k=0~2a) {f(k)+1}　･･････①
のΣ(k=0~2a) f(k)<Σ(k=0~2a) l_kの部分は「<」なのに、
以上(i)(ii)より、①は、(m*(4a^2-1))/(3a)≦L_m≦(m*(4a^2-1))/(3a)+2a+1
の(m*(4a^2-1))/(3a)≦L_mの部分は何の断りもなく「≦」になっているのでしょうか？
勿論、はさみうちの原理を使うにあたり、(m*(4a^2-1))/(3a)≦L_m≦(m*(4a^2-1))/(3a)+2a+1にしておかないと都合が悪いというのは分かるのですが。
ご教示くださいますようお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  
  ＞x≦y は「x<y または x=y」だから, x<y となっているものを x≦y に直すところで何かを断る必要はない. 逆に x≦y から x<y としようとするなら「x≠y であること」を見せないといけない.
  
  このことは分かります。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/15 13:20

• ＞とはいえ, 実際にはそんなことしなくてもいい場面もあるんだけどね. 今回みたいに.
  
  これが分からないのです。今回の場合はどうしてなのでしょうか？
  f(k)<Σ(k=0~2a) l_k≦Σ(k=0~2a) {f(k)+1}　･･････①
  はガウスの不等式f(k)-1<[f(k)]≦f(k)Σ(k=0~2a)から導かれた不等式なので、
  (m*(4a^2-1))/(3a)<L_m≦(m*(4a^2-1))/(3a)+2a+1となるのは分かりますが、どうして
  (m*(4a^2-1))/(3a)≦L_m≦(m*(4a^2-1))/(3a)+2a+1のようにしてよいのでしょうか？

    補足日時：2016/02/15 13:21

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/15 12:40

x≦y は「x<y または x=y」だから, x<y となっているものを x≦y に直すところで何かを断る必要はない. 逆に x≦y から x<y としようとするなら「x≠y であること」を見せないといけない.

とはいえ, 実際にはそんなことしなくてもいい場面もあるんだけどね. 今回みたいに.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/02/22 18:05

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/15 17:50

まず, はさみうちの原理を使うからといって「不等号に = をつけないと都合が悪い」なんてことはない. つまり, 不等号を「<」から「≦」にしなければならないという理由は (極限を正しく扱えるなら) 存在しない.

で補足の部分だけど, 何を疑問視しているのかわからない. 「x<y」を「x≦y」にしていいというのがわかるなら, 「(m*(4a^2-1))/(3a)<L_m」を「(m*(4a^2-1))/(3a)≦L_m」としていいのは簡単にわかるはずだと思う. どこが疑問なんだろうか.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞＞x≦y は「x<y または x=y」だから, x<y となっているものを x≦y に直すところで何かを断る必要はない. 逆に x≦y から x<y としようとするなら「x≠y であること」を見せないといけない.

このことは分かります。

これは勘違いして分かると書いていました。
今、ちゃんと分かりました。
よって「(m*(4a^2-1))/(3a)<L_m」を「(m*(4a^2-1))/(3a)≦L_m」としてよいことも分かりました。

お礼日時：2016/02/15 18:08