確率の問題です。とても困っているので教えてください。

3つの袋A,B,Cがある。Aには1から7までの番号が書かれた玉がそれぞれ2個ずつ、計14個入っている。
また袋B、袋Cには何も入っていない
袋Aから無作為に玉を取り出してBに入れる。ここでBに入れられた玉を玉iとするとき、玉(i-1)、玉i、玉(i+1)のうち袋Aに入っているものをそれぞれ1個ずつ取り出して袋Cに入れる。
ここまでを1回の操作とする。
1回目の操作で玉4がBに入れられたとき、2回目の操作で玉5が袋Bに入れられる確率を求めよ。

という問題です。
1回目で玉4がBに入るので玉4がBに、玉3,玉4,玉5がCに入ります。
ここでAに入ってる10個の玉から玉5を選ぶ確率なのですが、解答は残りの10個から玉5を選んでBに移すので1/10となっています。
何故、1回目の操作でCに移動された玉5が2個のうちどちらなのかを考える必要はないのでしょうか？
(ア)1回目の操作で玉5aがCに移動し、玉5bがAに残っている場合
1/10
(イ)1回目の操作で玉5bがCに移動し、玉5aがAに残っている場合
1/10
(ア)(イ)より1/10+1/10＝1/5
が何故間違いなのでしょうか？
もっというと、玉3のどちらがAに残るかも考慮しなければいけない気がして、4つの場合分けが必要な気さえします。
頭はよくないですが、どなたか教えていただけるとありがたいです。

No.3 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/02/23 17:33

Ａが起こったとして、Ｂの起こる条件付き確率

ＰA(Ｂ)=Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ａ)
で考えればいいのでは？

Ａ：１回目の操作で玉４がＢに入れられる
Ｂ：２回目の操作で玉５がＢに入れられる
とすると、

●　玉を区別しないで考える場合
まず、分母のＰ(Ａ)は、
Ｐ(Ａ)=2/14=1/7

次に、分子のＰ(Ａ∩Ｂ)は、
１回目、玉４を取り出す確率が、上と同じ 1/7
玉４を取り出したら、玉３、玉４、玉５を１個ずつＣの袋に入れるから、
１回目の操作終了後、Ａの袋の残りの玉は10個になる。
これから、２回目、玉５を取り出せばよいから、
Ｐ(Ａ∩Ｂ)=(1/7)×(1/10)

したがって、求める条件付き確率は
ＰA(Ｂ)={(1/7)×(1/10)}/(1/7)=1/10


●　玉を区別して考える場合
まず、分母のＰ(Ａ)は、
１回目、玉４を取り出す確率が、上と同じ 1/7
そして、玉４を取り出したら、玉３、玉４、玉５を１個ずつ選んでＣの袋に入れることになるから、
この場合の確率が
(1/2)×1×(1/2)=1/4
よって、
Ｐ(Ａ)=(1/7)×(1/4)

次に、分子のＰ(Ａ∩Ｂ)は、
玉４を取り出してＢの袋に入れた後、玉３、玉４、玉５をＣの袋に入れるから、
この場合の確率が、上の場合と同じ
(1/7)×(1/4)
１回目の操作終了後、Ａの袋の残りの玉は10個になる。
これから、２回目、玉５を取り出せばよいから、
Ｐ(Ａ∩Ｂ)=(1/7)×(1/4)×(1/10)

したがって、求める条件付き確率は
ＰA(Ｂ)={(1/7)×(1/4)×(1/10)}/{(1/7)×(1/4)}=1/10

と、どちらで考えても、同じ確率になるのでは？


一応、１回目、玉４を取り出してＢの袋に入れる
　　　２回目、玉５を取り出してＢの袋に入れる
は、袋の中を見ずに玉を取り出しているが、
　　　玉３、玉４、玉５をＣの袋に入れる
は、玉を見て（つまり、番号だけを見て）取り出している（玉３であれば玉３ａでも玉３ｂでもどちらでもよい）
という違いがありますが・・・

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/23 12:33

No.1です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞どういったときに区別をしない方が楽なのかの見分け方のようなものはありますでしょうか？

直感的にこれでよい、と判断するのはなかなか難しいですよね。私もよく迷うし、頓珍漢な場合分けをしたり、ケース分けのドツボにはまります。（答が分かっているときには簡単なのですが）
並べるときに区別をするのが「順列」、区別をしないのが「組合せ」ということで、それで「場合の数」を数えて、起こりうる「全てのケース」で割って確率を出しますが、「組合せ」の方が「場合の数」が少なくて済むので、どちらでもよいなら通常は「区別しない」方を選ぶのでしょうね。

サイコロ2つを振って合計数を出すのに、普通はどっちのサイコロがいくつで、という区別をしないように。「人数」だけを話題にするような場合にも、それでよいのでしょう。
人数だけでなく、「名前」が付いた人を個別に扱うときには、「区別する」方を選ぶのでしょうね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/23 09:50

＞何故、1回目の操作でCに移動された玉5が2個のうちどちらなのかを考える必要はないのでしょうか？

＞(ア)1回目の操作で玉5aがCに移動し、玉5bがAに残っている場合
＞1/10
＞(イ)1回目の操作で玉5bがCに移動し、玉5aがAに残っている場合
＞1/10
＞(ア)(イ)より1/10+1/10＝1/5
＞が何故間違いなのでしょうか？

　何故なら、玉5aも5bも区別しないからです。
　区別しないから、残った玉の中での「5」は、10個中の1個。

　仮に玉5aも5bを区別するなら、
　（ア）「1回目の操作で玉5aがCに移動し、玉5bがAに残っている確率」は、玉5aも5bを区別しない場合の1/2になります。
　同様に、
　（イ）「1回目の操作で玉5bがCに移動し、玉5aがAに残っている確率」も、玉5aも5bを区別しない場合の1/2になります。

　つまり
　（ア）では、2回目に玉5bを引く確率は、(1/2) * (1/10) = 1/20
　（イ）では、2回目に玉5aを引く確率は、(1/2) * (1/10) = 1/20
（ア）（イ）より
　　　1/20+1/20＝1/10
となります。

　玉5aも5bも区別しないなら2回目の確率は残っているものだけで計算できますが、玉5aと5bを区別する場合には1回目と2回目の組合せで考えなければいけません。
　玉5aと5bを区別する場合には「履歴」まで影響するということです。何故なら「1回目に玉5a、2回目も玉5a」という組合せはあり得ないからです。

この回答へのお礼

納得がいきました。
区別する場合には1回目の操作でBに移動するのが5aか5bを選ぶので1/2がかかってくるということなのですね。
区別をしない場合、見かけ上の個数が全く変わらないので2回目の操作で5が1/10で選ばれることは感覚的にはわかるのですが、確率なのに区別をしないというのがなんだか気持ち悪くてモヤモヤします。
どういったときに区別をしない方が楽なのかの見分け方のようなものはありますでしょうか？

お礼日時：2016/02/23 11:00