曲線の長さを求める積分の問題なのですが、積分の手順を教えてください

積分の応用問題で曲線の長さを求める問題がありますが、たいていいかにも答が出やすいように仕組んだ、それでいてどんな曲線だかわかりにくいようなものが多いなあと思うのですが、とてもシンプルな曲線、ｙ＝ｘ＾２、のｘ＝０からｘ＝２までの長さを求めようとして、ハタと手が止まってしまいました。とりあえず定跡どおりに媒介変数で表して、ｙ＝ｔ＾２、ｘ＝ｔ、ですから、dy/dt＝２ｔ、dx/dt＝１ということで、∫（4t^2+1)^(1/2）ｄｔをｔ＝０から２でやればよいだろうと思うのですが、ここでどうしてよいのかわからなくなり、答をMaximaに教えてもらったら、(1/4)Arcsinh２ｔ＋(t/2)・（４ｔ＾２＋１）^(1/2)＋積分定数、となって、数３の範囲を超えたところなんだろうなというところまではわかりました。
そこで、この積分計算を手で行うためには、どんな積分の技法を勉強すればよいのか、また、勉強してからでないとダメでしょうから、大ざっぱに、そのときにはどんな手順で変形することになるのか、教えていただけませんでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/02/28 00:51

∫√（1＋x^2）dx の積分は、大学一年生以上なら、見た瞬間に、x=sinh(θ)と置換しようと、思いつくはず（思いつかなければならない）です。

ちょうど、理系の大学受験生が、∫√(1-x^2)dx の積分を見た瞬間に、x=sin(θ) と置換しようと思いつくはず（思いつかなければならない）のと同じです。

三角関数が、cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1 という関係があるのにたいして、
双曲線関数は、cosh^2(θ) - sinh^2(θ) = 1 という関係があるので、これを利用して√を外すということです。

ちなみに、∫√(1+x^2)dx の積分は、恐ろしいことに、大学受験に出題されることもあります。
高校では、双曲線関数を習わないので、x=sinh^2(θ) という置換を使うことができません。
その代わり、大学受験の業界？では、
∫√(1+x^2)dx をみたら、y = log｜x + √(1+x^2)｜ と置換するというのが定石ということになっています。
こんな置換は、試験中にその場で思いつくことは絶対に不可能なんで、事前にこの置換は丸暗記してなければなりません。
こういう暗記してなければ絶対に解けないみたいな変な問題は、東大京大なんかでは出題されることはまずありませんが、私立大学なんかだと、いまだに出題されることがあります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。√（１－x^2）ではないので、手が止まっておりました。置換はその後の効率の差はあっても１つに限られたわけではないから、この場合の定跡も複数あるのですね。双曲線関数を使う方が汎用性が高いのでしょうか。ともあれ本を買ってきて勉強してみます。とても参考になりました。

お礼日時：2016/02/28 15:47

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/28 07:14

孤長積分(求長)は、たいてい解析的には解けないので

数値計算に頼ることになります。

解析的に解けるのは僅かなので、個別に覚えて
おくしかないですね。

円とか等角螺旋とか懸垂曲線とか・・・

昔は数学者がいろいろな曲線の求長を解析的に
行なえるのか競ったそうです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。一方で、解析的に解ける、積分できる方が圧倒的に少ないはずなのに、というか、そう聞かされてきたのですが、Maxima先生はいともあっさりと答を示してくれるので、一体どうなっているのだろうと不思議に思っておりました。
数学者が解析的な曲線の求長を競った歴史の読み物があったらぜひ読んでみたくなりました。

お礼日時：2016/02/28 15:57

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/27 22:08

No.1ですが、大学の微分積分学の演習書に腐る程のパターンの解説があるので、それ開いて調べてやってれば嫌でも覚えます。

あと、答えがわかってるなら微分して確かめてみれば？ってことです。

この回答へのお礼

重ねてのご回答、有難うございます。大きな本屋さんに買い出しに行ってこようと思います。
答は演算ソフトに聞けばわかるのですけど、その答に（答をしらずに）到達できるようになりたいと思っています。

お礼日時：2016/02/28 15:35

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/27 21:35

I=∫(0,2)[(4t^2+1)^(1/2)]dt=(1/2)∫(0,4)[(u^2+1)^(1/2)]du (u=2tとおく）

不定積分の公式

∫[(x^2+1)^(1/2)]dx=(1/2)[x(x^2+1)^(1/2)+log|x+(x^2+1)^(1/2)|]

は 左から右へもっていくのはテクニックを要しますが右辺をxで微分すればまわいくどいですがきれいに比∫関数に一致します。
これを使って

I=∫(0,2)[(4t^2+1)^(1/2)]dt=(1/2)∫(0,4)[(u^2+1)^(1/2)]du
=(1/4)[x(x^2+1)^(1/2)+log|x+(x^2+1)^(1/2)|](0,4)
=(1/4)[4√17+log(4+√17)=√17+(1/4)log(4+√17)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。公式！なのですか。微分していくとたしかに元通りになりました。形がずいぶん違いますから、質問文に書いた「答」はMaximaの操作をどこかで誤ったのかもしれません。ともあれ、どうやってこの公式を導くのか、本屋さんに行ったら参考書を探してみます。

お礼日時：2016/02/28 15:29

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/27 21:13

技法としてはArcの計算にはdx/dy=1/(dy/dx)を使う。

積分結果がわかっているならば、それを微分して積分の計算法を学ぶ。

この回答へのお礼

早速にご回答くださりありがとうございます。置換積分みたいに、結果がわからない状態で、こうやっていったら先が見えてくるかも、というのは、この場合は何かないのでしょうか。皆さまは、パターンのわからない積分の練習をするとき、ソフトで答を出して微分して、その逆手順からパターンがないか検討して、１つずつ勉強していかれたのでしょうか。

お礼日時：2016/02/27 21:31