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四角形ABCDの対角線AC,BDは四角形の内部の点Pで交わっている。
AC=2,BD=3,角APB=60度であるとき、AB+BC+CD+DAのとうりうる最小値を求めよ

gooドクター

A 回答 (8件)

高校生レベルだったのでご報告。



点BからACに平行で長さが等しいBQ、BRを引くと

AB+BC+CD+DA=DA+AQ+DC+CB

最短経路は折れ線でなくなるとき。

被ってたら申し訳ない。
「四角形ABCDの対角線AC,BDは四角形」の回答画像11
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試しに対辺の和の最小値を求めてみたら、うまくいったのでご報告。



AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, PA=x, PB=y とすると

a^2=x^2+y^2-xy
c^2=(2-x)^2+(3-y)^2-(2-x)(3-y)

L=a+c の極小値を調べてみる。

∂L/∂x=(2xy)/(2a)+(2y-x)/(2c)=0
∂L/∂y={2(x-2)-y+3}/(2a)+(2x+y-3)/(2c)=0

とする。1/a と 1/c は自明でない解をもつから係数行列の行列式が0ってことから

2y=3x

このとき

4a^2=7x^2
4c^2=7(2-x)^2

L=a+c=√7

2y=3x 上で定数の √7 であることはたいへん都合が良い。まるで「この方向で間違いない」と言われているよう。

ほんとに極小かをチェック。2y=3x のときの ∂^2L/∂x^2 の値は 27√7/(28ac) なので、グラフの y=定数 の断面では極小といえる。

今度は b+d で同様にやる。
行列式が0から

3x+2y=6

を得る。このとき

4b^2=19(2-x)^2
4d^2=19x^2

b+d=√19

b+d の x による2階偏微分の値は 27√19/(76bd) で OK!

だから a+b+c+d の最小値は x=1, y=3/2 のとき √7+√19 、

私はこうなりました。皆さんの予想と同じです。
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No.6のはf(x,y)=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=44/3


でしたね。

AB=√(4/3)、BC=4+√(4/3)、CD=7/3+√(4/3)、DA=3+√(4/3)

AB+BC+CD+DA=28/3+4√(4/3)≒13.95(最大値)
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AB=x^2+y^2-2xycos60°=x^2+y^2-xy



CD=(2-x)^2+(3-y)^2-2(2-x)(3-y)cos60°
=(2-x)^2+(3-y)^2-(2-x)(3-y)
=7+x-4y+AB

BC=y^2+(2-x)^2-2y(2-x)cos120°
=y^2+(2-x)^2+y(2-x)
=4-4x+2y+AB

DA=x^2+(3-y)^2-2x(3-y)cos120°
=x^2+(3-y)^2+x(3-y)
=9-6y+3x+AB

f(x,y)=AB+BC+CD+DA
=4AB+20-8y
=4x^2+4y^2-4xy-8y+20

df(x,y)/dx=8x-4y=0…⑴
df(x,y)/dy=8y-4x-8=0…⑵

⑴+2×⑵=12y-16=0
∴y=4/3
∴x=2/3

従って、
AB=4/9+16/9-8/9=4/3
f(x,y)=AB+BC+CD+DA=16/3+60/3-32/3=44/3

おかしいな、最大値の間違いかな?
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最小になる条件が導き出せないのですが、


対角線が互いに中点で交わっている場合に(このとき平行四辺形になる)、
AB+BC+CD+DA=( √1.75 + √4.75 )×2 ≒7.00 になる。
これが最小かどうか小生には証明ができない。ザンネン・・・・
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臨床数学者 deetonの推理


(√7) + (√19) が不正解なら、この問題は美しくない。
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四角形である前提を考えれば、


5+√19+ε
(ε>0、R∋ε:Rは実数体)
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AC=2, BD=3を保ったままA,DがPに近づいた極限では



S=AB+BC+CD+DA=PB+BC+CP

PB=3

BC=√[3^2+2^2-2*3*2*cos(120°)]=√19

CP=2

Sの最小値=5+√19
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