瞬時値のグラフと極座標表示のグラフ

Question

交流電源回路においての質問です。

添付図①は、交流回路の瞬時値のグラフです。
電圧v=V0×sinωt
電流i=I0×sin(ωt+θ)
インピーダンスZ
の3つグラフです。

(通常、インピーダンスZは図示しませんが、あえて図示しています)
質問⑴
i、vの瞬時値のグラフは正弦関数で正しいと思いますが、Zのグラフも（一定として書いていますが）正しいでしょうか？

添付図②は、図①のグラフを極座標表示したものです。
質問⑵
ﾄﾞｯﾄV、ﾄﾞｯﾄIは角度ωtの値によってぐるぐると回っていると思いますが、ﾄﾞｯﾄZはどのような角度ωtでも動く事なく常にこの位置にいる。
と思ったのですが、正しいでしょうか？また、表記に誤り等無いでしょうか？

教えてください。

m-jiro · Accepted Answer

>　本当にこのようなグラフになるのでしょうか…。
なります。
瞬時電圧、瞬時電流の時間変化はわかりますね。それらから割算しただけです。
ただこのグラフは何を表し何を読みとるのか、その意味付けは・・・ほぼ無いと思う。

>　 瞬時値にもオームの法則は当てはまるものなのでしょうか？
あてはまります。

>　 複素平面上に、複素電圧、複素電流と同時にインピーダンスも表示できるのものなのでしょうか？
ご質問の図の中にありますよ。電圧、電流、インピーダンスが同じ平面の上に書かれています。

質問者殿は瞬時値、実効値、振幅などをごちゃまぜにしていませんか？
強電屋さんは実効値と位相という考え方だと思います。
小生は弱電屋（電子）です。直流に交流が重畳されたような電気ばかりなのでほとんどの場合瞬時値で扱います。瞬時値だったら位相も実効値も関係なし。オシロで見てこの瞬間は何ボルト、から始まります。当然オームの法則はあてはまる。電子回路では　直流としての負荷抵抗　と　交流としての負荷抵抗　があるのですが、強電の人から見ると区別しにくいでしょうね。

ngkdddjkk · Answer

インピーダンスの時間変化を数値で追うのではなく、
e=-LdI/dt
などによる電流の時間変化を追わないと、誤った理解になります。

m-jiro · Answer

> ひょっとすると、vとiの瞬時値を（ｖ／ｉ）に代入して得られた値でしょうか？
そのとおりです。単に瞬時値を割算しただけです。
（ｚのグラフはゼロと無限大の位置は合わせてありますがその他の位置は適当です。）
なお電圧と電流の位相差が９０°の場合ｚのグラフはずばり tan 関数のグラフになります。

余談ですがｖとｉの積のグラフも書いてみてください。
位相差がない場合はプラスの領域にのみ存在。
位相差が増えるにしたがってマイナスの領域が広がります。
９０°では正負の領域に半分ずつになります。

m-jiro · Answer

ある時刻ｔにおける電圧・電流の瞬時値をｖ、ｉとし、
ｚを　　ｚ＝ｖ／ｉ　　とする。
ここではωｔも位相も考えていない。ともかく瞬時値だけを考える。だからｚは実数である。虚数項を含まないからインピーダンスというより抵抗というべき。
このｚをグラフにしたものが添付図の赤色。（フリーハンドで適当に書いている。）
ｖ＝０でｚ＝０、ｉ＝０でｚ＝±∞　になる。またマイナスにもなる。上下は非対称。
抵抗ｚがマイナスになる。その理由がわかりますか？
電圧（あるいは電流）を発生しているのだ。いわゆる負性抵抗。つまり発電機。
ｚが正の部分で電圧（あるいは電流）を吸収してインダクタンス（またはキャパシタンス）に蓄え、負の部分では放出している。上下が非対称なのはｚに抵抗成分があり吸収の方が多いため。
もし電圧と電流の位相差が９０°なら上下対称になり、吸収と放出は等しい。ｚはリアクタンス成分のみ。
同相ならば吸収だけとなりｚは時刻にかかわらずプラスの一定値になる。ｚは抵抗成分だけ。

この関係を簡潔に書いたものがωt+θとか、複素数での表示。あくまでも表記の問題。
もうひとつ気にして欲しいのがエネルギーのこと。コイルやコンデンサはエネルギーを吸収し放出する。吸収量と放出量はイコール。交流の位相差問題でも過渡現象の問題でも吸収量と放出量が等しいことに着目すると簡単に解けることがある。

yhr2 · Answer

No.2です。なんか、きりがないですね。もうこれ以上はやめますよ。

＞質問⑴このコイルの両端を抵抗計測器で測定すると、何等か数値が得られるのではないでしょうか？

ですから、コイルに発生する「有効電圧」は測定できますよ。「抵抗計測器」ってどんなものですか？　直流抵抗を測るもの？　抵抗とインピーダンスは別物ですよ。

＞質問⑵交流電源の瞬時毎に、コイル両端の計測器での抵抗測定値はどのように変化するのでしょうか？

電源の入り切りは、「交流電源」ではなく、直流でも交流でも「ステップ電圧変化による過渡変化」（ステップ応答）です。これは微分方程式を解く話なので、交流理論とは別に考えないとだめですよ。

yhr2 · Answer

No.1です。「補足」に書かれたことについて。

＞スイッチを入れると、
＞負荷の電圧の測定値をグラフに表すと、図①のv=V0×sinωtのグラフが得られ、
＞電流の測定値をグラフに表すと、図①のI0×sin(ωt+θ)のグラフが得られる。
＞質問⑴ここまでは合ってますでしょうか？

「有効電圧」「有効電流」はそのようになります。「電圧」は、合成インピーダンス全体に対する電圧、つまり電源電圧になります。

＞質問⑵負荷の抵抗値を測定値で計測するとどのような値が得られるのでしょうか？

負荷のうちの「抵抗」では、電流と同位相の電圧が測定され、一定の（時間とともに変化しない）「抵抗値」が得られます。
聞かれてはいませんが書いておくと、コイルやコンデンサーには、電流とずれた位相の電圧が発生します。コイルやコンデンサーの電圧を個別に測っていれば、時間とともにてんでんばらばらの電圧が測定され、時間とともに変化する「インピーダンス」が得られます。お分かりと思いますが、「瞬時値」を測定している限り「位相」は分かりません。時間変化をプロットして初めて「位相」が分かります。
これらの値は、電源の周波数が変われば、またまた変わります。ですから、通常は「周波数一定」という条件で考えます。

yhr2 · Answer

もう一つの質問の方に、計算例を載せたので参考にしてください。

インピーダンスは、時間に関する三角関数のグラフには書けません。複素数ですから。
「電圧」や「電流」も、複素数で表示したら三角関数では書けません。複素数のうちの「有効電圧」「有効電流」をグラフにしているイメージです。
　
　インピーダンスは、時間に関する三角関数で書いた「電圧」と「電流」の間で、「振幅」と「位相」を変化させる作用をすると考えればよいでしょう。このグラフで言えば、I0からV0にピークを縮め、かつ位相を θ だけ進めている「変化の素」がインピーダンスです。時間 t の関数ではないので、このグラフ上には書けません。

ということで、
＞質問⑴
＞i、vの瞬時値のグラフは正弦関数で正しいと思いますが、Zのグラフも（一定として書いていますが）正しいでしょうか？

正しくありません。
　上に書いたように、交流の「電圧」と「電流」の「作用の素」なので、それを図示するのは無理、ということなのです。
　複素数を使ったベクトル表示なら、「ベクトル合成」として、その「作用の素」をうまく処理できるのです。

＞質問⑵
＞ﾄﾞｯﾄV、ﾄﾞｯﾄIは角度ωtの値によってぐるぐると回っていると思いますが、ﾄﾞｯﾄZはどのような角度ωtでも動く事なく常にこの位置にいる。
＞と思ったのですが、正しいでしょうか？また、表記に誤り等無いでしょうか？

これまた、正しくありません。
　上に書いたように、「この位置にいる」のではなく、「電流」と「電圧」の「間に介在する」ということです。「電流」ベクトルと「電圧」ベクトルとの間に介在して、「電流」から「電圧」を、逆に「電圧」から「電流」を導くものです。（その間の関係を、交流におけるオームの法則の「インピーダンス」として定義したのです）

交流における電圧も電流も周期的に変化する「ベクトル」で、それを一面的には三角関数でイメージできるが、正確には「回転するベクトル」としてとらえるのが一番分かりやすく、処理もしやすい、ということに、一刻も早く到達、理解、納得されることをお祈りします。
　そのように導こうとしているテキストや、この質問サイトの回答・アドバイスもあるのに、どうしてかたくなにそれを拒否しているのか、私には理解できません。

瞬時値のグラフと極座標表示のグラフ

> 本当にこのようなグラフになるのでしょうか…。

インピーダンスの時間変化を数値で追うのではなく、

> ひょっとすると、vとiの瞬時値を（ｖ／ｉ）に代入して得られた値でしょうか？

ある時刻ｔにおける電圧・電流の瞬時値をｖ、ｉとし、

No.2です。

No.1です。

もう一つの質問の方に、計算例を載せたので参考にしてください。

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