a,b,cをV^3のベクトルとします。

(a×b)×c + (b×c)×a + (c×a)×b = 0    …(i)

これは
(a×b)×c = -(b,c)a + (a,c)b    …(ii)
を先に証明してこれを使う事で証明できる事は分かりました。

ところで(a×b)×cって何ですか?
((a×b),c)だったらベクトルa,b,cの張る6面体の体積(符号付)ですよね。
でも(a×b)×cって?。対称な3つのベクトルを足し合わせると0ベクトルになってしまう。((i)の事です。)
(ii)からa,bの張る平面上のベクトルである事は分かるのですが、
何だか分かったようですっきりしない。

(a×b)×c
って幾何学的に何か意味あるんでしょうか?

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A 回答 (2件)

(a×b)×c 単独の幾何学的意味はtaropooさん自身がお書きになったことでしょう。



物理学的にはローレンツ力というのがキーワードになりそうです。
安直ですが、フレミングなのかな~なんてのも考え中。
物理のぶの字も分かってないので無責任すぎますが。。。。

あと、(i)から想像するに・・・・
3つのベクトルが
e+f+g=0
を満たすってことは、3つのベクトルe,f,gは同一平面上・・・・
さらに、OE,OF,OGの長さを3辺とする三角形が作れる・・・
こんなもんでしょうか。

この回答への補足

(a×b)×c、(b×c)×a、(c×a)×bの乗る平面の法線ベクトルを力ずくで解きました。
結果は全くシンプルなものではありませんでした。以下に結果を載せます。

法線ベクトルをdとすると、a,b,cは線形独立だからこれらを用いて
d=pa+qb+rc (p,q,rは実数)
と表せて、
p = (b,c)(a,a) - (c,a)(a,b)
q = (c,a)(b,b) - (a,b)(b,c)
q = (a,b)(c,c) - (b,c)(c,a)
でした。

もっとシンプルな p = q = r とか、p = 1 / (a,a), q = 1 / (b,b), r = 1 / (c,c)とかを期待していたのですが。

以上ご報告まで。

補足日時:2001/06/24 19:46
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この回答へのお礼

> (a×b)×c 単独の幾何学的意味はtaropooさん自身がお書きになったことでしょう。

との事ですが

> aとbに垂直なベクトルとcと垂直なベクトル、それでいてa,bの張る平面上にある…。

って冗長でしたね。
「a,bの張る平面上にあってcと垂直なベクトル」
ですね。
でもそれだけじゃ物足りないんですよ。長さがa,b,cの張る平行六面体の体積(違いますけどね、例えばの話)とか。

> 3つのベクトルが
> e+f+g=0
> を満たすってことは、3つのベクトルe,f,gは同一平面上・・・・

これ、ナイスです。しかもただ同一平面上じゃなく、原点を通る平面上。
あとはそれがどんな法線ベクトルを持った平面なのかが問題ですね。

お礼日時:2001/06/21 00:07

(a×b)はベクトルaとベクトルbに垂直なベクトル。


そのベクトルとベクトルcに垂直なベクトルが(a×b)×cではないでしょうか。
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この回答へのお礼

う~ん、それはそうなんですけど、
aとbに垂直なベクトルとcと垂直なベクトル、それでいてa,bの張る平面状にある…。
それを対称な3つを足すと何故0ベクトルになるのか、そこがすっきりしないんですよね。

お礼日時:2001/06/20 01:41

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