a,b,cをV^3のベクトルとします。

(a×b)×c + (b×c)×a + (c×a)×b = 0    …(i)

これは
(a×b)×c = -(b,c)a + (a,c)b    …(ii)
を先に証明してこれを使う事で証明できる事は分かりました。

ところで(a×b)×cって何ですか?
((a×b),c)だったらベクトルa,b,cの張る6面体の体積(符号付)ですよね。
でも(a×b)×cって?。対称な3つのベクトルを足し合わせると0ベクトルになってしまう。((i)の事です。)
(ii)からa,bの張る平面上のベクトルである事は分かるのですが、
何だか分かったようですっきりしない。

(a×b)×c
って幾何学的に何か意味あるんでしょうか?

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A 回答 (2件)

(a×b)×c 単独の幾何学的意味はtaropooさん自身がお書きになったことでしょう。



物理学的にはローレンツ力というのがキーワードになりそうです。
安直ですが、フレミングなのかな~なんてのも考え中。
物理のぶの字も分かってないので無責任すぎますが。。。。

あと、(i)から想像するに・・・・
3つのベクトルが
e+f+g=0
を満たすってことは、3つのベクトルe,f,gは同一平面上・・・・
さらに、OE,OF,OGの長さを3辺とする三角形が作れる・・・
こんなもんでしょうか。

この回答への補足

(a×b)×c、(b×c)×a、(c×a)×bの乗る平面の法線ベクトルを力ずくで解きました。
結果は全くシンプルなものではありませんでした。以下に結果を載せます。

法線ベクトルをdとすると、a,b,cは線形独立だからこれらを用いて
d=pa+qb+rc (p,q,rは実数)
と表せて、
p = (b,c)(a,a) - (c,a)(a,b)
q = (c,a)(b,b) - (a,b)(b,c)
q = (a,b)(c,c) - (b,c)(c,a)
でした。

もっとシンプルな p = q = r とか、p = 1 / (a,a), q = 1 / (b,b), r = 1 / (c,c)とかを期待していたのですが。

以上ご報告まで。

補足日時:2001/06/24 19:46
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この回答へのお礼

> (a×b)×c 単独の幾何学的意味はtaropooさん自身がお書きになったことでしょう。

との事ですが

> aとbに垂直なベクトルとcと垂直なベクトル、それでいてa,bの張る平面上にある…。

って冗長でしたね。
「a,bの張る平面上にあってcと垂直なベクトル」
ですね。
でもそれだけじゃ物足りないんですよ。長さがa,b,cの張る平行六面体の体積(違いますけどね、例えばの話)とか。

> 3つのベクトルが
> e+f+g=0
> を満たすってことは、3つのベクトルe,f,gは同一平面上・・・・

これ、ナイスです。しかもただ同一平面上じゃなく、原点を通る平面上。
あとはそれがどんな法線ベクトルを持った平面なのかが問題ですね。

お礼日時:2001/06/21 00:07

(a×b)はベクトルaとベクトルbに垂直なベクトル。


そのベクトルとベクトルcに垂直なベクトルが(a×b)×cではないでしょうか。
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この回答へのお礼

う~ん、それはそうなんですけど、
aとbに垂直なベクトルとcと垂直なベクトル、それでいてa,bの張る平面状にある…。
それを対称な3つを足すと何故0ベクトルになるのか、そこがすっきりしないんですよね。

お礼日時:2001/06/20 01:41

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>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学)省は,「高校で数学を学ぶうえで中心(コア)となるもの」を易しいほうからI→II→IIIと配置し,それ以外をいわばオプションとしてA~Cとしたように思われます。

さらに,I~IIIとA~Cには非常に大きな違いがあります。

たとえば数学Iの内容は,もし学ぶのであればその内容(二次関数・三角比・場合の数・確率)を全部学ばないと,単位がとれません。数学II,数学IIIも同様です。
これに対して,数学Aは,数と式・平面幾何・数列・コンピュータの四単元からなっていますが,指導要領では「履修する生徒の実態に応じて、内容の(1)から(4)までの中から適宜選択させるものとする。」となっており,学校によって扱いはまちまちです。
コンピュータ(BASICのプログラミング)を省いている学校も結構ありますし,また参考書でも飛ばされていたりします。
(ところが入試だとプログラミングがある意味では一番易しいので,それを狙っていこう!という参考書もあったりします)
BやCも同様で,学校により扱いが異なります。

以上より,次のようなことが言えます。
たとえば,ある生徒が「学校で数学IIを習った」といっていれば,数学Iと数学IIの内容は全て授業でやっているはずです。
ところが,「数学Aを習った」というだけでは,実際に何を習っているかは分かりません。
このため,大学入試でも,数学A・B・Cはたいてい,それぞれの単元に対応する問題を並べておいてそのなかから選んで答えさせるようになっています。

No.2のカリキュラムは,1981年度に高校に入学した人までが学んだものです。
当時は,いわゆる受験校(進学校)の場合,おおまかにみて,
入試で数学を使わない人:「数学I→数学IIA」
数学を使う文系の人:「数学I→数学IIB」
理系の人:「数学I→数学IIB→数学III」
というパターンでカリキュラムを組んでいる学校が多かったように思います。
翌年登場したのが,「数学I」「基礎解析」「代数幾何」「確率統計」「微分積分」という科目分けで学んでいます。
その次(92年度入学者以降)に登場したのが現行のI~III,A~Cです。

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
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