X-3cosX (0<X<2π)における極値を教えて下さい。

X-3cosX (0<X<2π)における極値を教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/27 09:03

No.1です。

酔っ払っていて、最初の微分計算を間違えていましたね。お恥ずかしい。

以下、全文訂正版です。

　f(X) = X - 3cosX
とおくと
　f' = 1 + 3sinX
なので、
　f' = 0
となるのは、
　sinX = -1/3
　X = arcsin(-1/3)
のときです。
0<X<2π より
　X ≒ 199.5°、340.5°
ぐらいになります。

これは
　f'' = 3cosX
で X1= 199.5°、X2= 340.5° のとき
　f''(X1) < 0
　f''(X2) > 0
ですから、X1 は「極大値」、X2 は「極小値」になります。

ここで、
　cos(X1) = -√[ 1² - （1/3)² ] = -√(8/9) = -2√2 /3
　cos(X2) = √[ 1² - （1/3)² ] = √(8/9) = 2√2 /3
より、極大値、極小値は、
X = arcsin(-1/3) (π < X < (3/2)π, X ≒ 199.5° )のとき、極大値
　arcsin(-1/3) + 2√2
X = arcsin(-1/3) ((3/2)π < X < 2π, X ≒ 340.5° )のとき、極小値
　arcsin(-1/3) - 2√2
となります。

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/04/27 00:38

f(X) = X - 3cos(X) (0 < X < 2π) とおくと

f'(X) = 1 + 3sin(X)
f'(X) = 0 となる X を X_1, X_2 (0 < X_1 < X_2 < 2π) とすると
極大値は f(X_1) = X_1 - 3cos(X_1) = π + arcsin(1/3) + 2√2
極小値は f(X_2) = X_2 - 3cos(X_2) = 2π - arcsin(1/3) - 2√2
ただし, -π/2 ≦ arcsin(X) ≦ π/2 とします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/26 23:09

「極値」とは、「極大値」「極小値」でよいのですね？

もし、「微分」が分からないなら、泥臭く
　Y = X
　Y = -3cosX
のグラフを書いて、合成して、極大、極小を探す、という手順でしょうか。

「微分」が分かれば、
　f(X) = X - 3cosX
とおいて
　f' = 3sinX
なので、
　f' = 0
となるのは、0<X<2π より
　X = π
のときです。

これは
　f'' = 3cosX
で X=π のとき
　f''(π) = -3 < 0
ですから、これは「極大値」になります。

以上より、X = π のとき、極大値
　f(π) = π + 3
をとります。