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一次不定方程式7x-5y=12を満たす自然数の組(x.y)をxの値が小さいものから順に並べる。このとき、第10番目の組を求めよ。という問題の解き方を教えてください。

A 回答 (5件)

不定方程式:7x-5y=12・・・・①を解くためには、方法が決まっています。

まず①を満たす(x.y)の組を1つ見つけますと、(x,y)=(1,-1)がありますので、7x1-5x(-1)=12・・・・②とおきます。①から②の両辺を引くと、7(x-1)-5(y+1)=0つまり、7(x-1)=5(y+1)・・・③が得られます。ここで、7と5は互いに素(共通の約数が1のみ)だから、x-1は5の倍数でなければならないので、mを自然数として、x-1=5mと書ける。また、③の右辺について同様の理由でy+1は7の倍数でなければならないので、nを自然数として、y+1=7nつまり、y=7n-1となる。以上から、m.nを自然数としてx,yの解は(x,y)=(5m+1,7n-1)となるので、xの10番目においては、m=10とおくと、x=5x10+1=51その時、①より、7x51-5y=12より、y=69となる。(x、y)=(51,69)がxが10番目における①の(x,y)の解である。
この問題は解き方を知らなければ解くのは難しいので、解き方をマスターしてください。
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もちろん一次不定方程式だから解法は存在する (互除法ベースの奴が有名) けど,


x = a + 5t, y = b + 7t
となることが係数から明らかなので小さい値に対してしらみつぶしに代入する方がだいたい速かったりします>#3.

って~か, 目の子で (自然数じゃないけど) x=1, y=-1 が条件 7x-5y=12 を満たすことは分かる.
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まぁ、順に代入していってみないと、どうなりそうか判らないでしょうね。


何だかやり方が無いかなぁ、解答パターンが無いかなぁ、じゃなくて、具体的に手を動かしてみることです。まずは。
たとえば、x=1だと、7x=7<12ですよね。5y=0でも12にはならないわけで。
y=0ならx≧2、なんてことにはなりまさぁなぁ。
また、7も5も奇数なのに12は偶数。7xと5yのどちらかが偶数でどちらかが奇数だと、計算結果が偶数にはならないはずです。奇数奇数か偶数偶数か、どちらかでしょうねぇ。
九九の5の段を考えてみると、?5と?0が順に並んでいるはずです。yを任意に変えることで、下一桁が5か0のケースは全部作りだせますよね。
下一桁が5の場合、7xはどうなっていれば良い?下一桁が0の場合、7xは?
なんて考えていくことだと思います。
たぶん何らかの解答パターンは使ってないと思います。
全て書きながら考えただけです。
整数問題の解き方、基本的なパターンが「全部一通り」頭に入っていれば、何か使えそうな技があるのかもしれませんが。
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なにが理解不能なのかわからんが, 「第10番目の組」じゃなくって「最初の組」ならわかるか?

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7x-5y=12


5y=7x-12
y=7x/5-12/5
これから言えることは、xは5の倍数の自然数でないと、yの値が整数にならない。
更にx≧2でないとyは自然数にならない。
これをxについての式にするとx=5(n+1)
自然数の組の10番目の値は、x=5(n+1)のときn=10の時の組みとなる。
n=10から、x=55
x=55の時、y=65
10番目の組は x=55,y=65
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