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多変量解析法入門(サイエンス社)という書籍で、単回帰分析のテコ比の解説で次の変形に出会いました。P.52 (4.34)式です。

β1 = Sxy/Sxx = (Σ(xi-x)(yi-y))/Sxx = (Σ(xi-x)yi)/Sxx
x : xの平均
y : yの平均

最後の式変形でなぜyが消えたのでしょうか、どうしても理解できません。
すみませんが、宜しくお願い致します。

gooドクター

A 回答 (1件)

[1] Σが、たとえばi=1〜Nについての総和のことだとしましょう。

すると、
  x = (Σxi)/N
です。

[2] さて、ご質問の式の分子Sxyの中の(yi-y)を展開してみましょう。
  Σ((xi-x)(yi-y))
   = Σ((xi-x)yi-(xi-x)y)
   = Σ((xi-x)yi)-Σ((xi-x)y)
   = Σ((xi-x)yi)-yΣ(xi-x)

[3] ここで、
  Σ(xi-x) = (Σxi)-(Σx)
であり、Σx ってのは「xをN回たす」ってことですから、
  Σx = Nx
である。さらに、[1]の式から
  Nx = Σxi
が得られますから、
  Σ(xi-x) = (Σxi)-Nx = 0
である。

[4] なので結局、
  Σ((xi-x)(yi-y)) = Σ((xi-x)yi)
というわけで、ご質問の式の右辺の分子が得られます。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます!
大変助かりました。

少し驚きました。x,yのどちらかの平均は式から消せますね。

お礼日時:2016/05/22 08:08

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