方程式で、 「どのようなxにおいても成り立つ」と書かれていたらその方程式がどんな方程式であろうとxに

方程式で、 「どのようなxにおいても成り立つ」と書かれていたらその方程式がどんな方程式であろうとxについての恒等式と考えて係数比較とかで計算できますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Gracies 回答日時： 2016/05/25 23:45

係数比較とは、等号関係にある左辺と右辺の同類項の係数はいつも同じという意味。

恒等式とは、展開や因数分解など，式の変形で得られる等式は恒等式と呼ばれ、その中で「どのようなxにおいても成り立つ」と書かれている方程式を、恒等式と言う。

具体的には、
a,b,c,… が定数のとき　で、係数が０の場合
(1)　ax+b=0 が恒等式　ならば　a=b=0
(2)　ax＾2+bx+c=0 が恒等式　ならば　a=b=c=0
(3)　ax＾3+bx＾2+cx+d=0 が恒等式　ならば　a=b=c=d=0

さらに、a,b,c,d の係数の値が異なり、
x＾3=ax(x−1)(x−2)+bx(x−1)+cx+d が恒等式も成り立つ。

そして、２つ以上の文字があるときに，どの文字についても恒等式となる
ax＾2+bxy+cy＾2=0　　が　x , y についての恒等式　も成り立つ。　


※但し、分数式の恒等式は「分母が0となるようなの値については、定義されない」

※無理式 √ax+b　を含む恒等式は、根号内が0以上となる値
何故０以上とする（０を含む）のかは、ルート０の2乗は０だから、式が成り立つことから、0以上とするの但書は、正しい。

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/05/27 00:52

a*x^2 + b*x + c = d*x^2 + e*x + f

みたいな多項式で書かれている恒等式とか、
a*sin(x) + b*cos(x) = c*sin(x) + d*cos(x)
みたいな三角関数で書かれているような恒等式なら係数比較してよいです。

ただ、
＞どんな方程式であろうと
というのは、違いますね。

例えば、極端な例として、
a*x + b*(x/2) = c*x + d*(x/2)
という恒等式から、a=c、b=d、は言えないわけです。
（言えるのは、2a+b = 2c+dだけ）

２つの関数f(x), g(x) についての恒等式
a*f(x) + b*g(x) = c*f(x) + d*g(x)
があったときに、係数比較して、a=c、b=dとしてよいかどうか、
関数f(x), g(x) の形によります。

大学にいくと習いますが、
２つの関数f(x), g(x) についての恒等式
a*f(x) + b*g(x) = c*f(x) + d*g(x)
があったときに、係数比較して、a=c、b=dとしてよいとき、
「関数f(x)とg(x)は線形独立である」といいます。

No.1 回答者： naochan1155 回答日時： 2016/05/25 22:52

例えば、a,b,p,q,rを実数の定数として、任意の実数ｘについて以下の式が成立するような場合、ax^2+bx+c=px^2+qx+r・・・①

①は恒等式と呼ばれ、a=p,b=q,c=rが成り立ちます。