「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

放物線y=x² /円x²+(y-5/4)²=1 の共有点の座標を求めるためx²を消去するとき、yはx²の範囲で、0<y,y=0という事を最初に求める必要がありますか?

A 回答 (4件)

初めにグラフをイメージする。


y = x² は頂点が(0,0)の下向きの放物線
x² + (y - 5/4)² = 1 は中心が(0,5/4)の半径1の円

y=x² の範囲から、y≧0 なので、範囲は指定(考慮)しなくてよい)

よって単純に
y = x²
x² + (y - 5/4)² = 1
の連立方程式を解けばよい。

y + (y - 5/4)² = 1
y + y² - 5y/2 + 25/16 = 1
y² - 3y/2 + 9/16 = 0
16y² - 24y + 9 = 0
(-4y + 3)² = 0
y = 3/4  重解

y = x²
(3/4) = x²
x= ±√{3/4}
 = ±√3 / √4
 = ±√3/2


検算してみる。
y = x²
 (3/4) = (√3/2)²
x² + (y - 5/4)² = 1
 3/4 + (1/4) = 1

共有点の座標は
(-√3/2 , 3/4)(√3/2 , 3/4)
「放物線y=x² /円x²+(y-5/4)」の回答画像4
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放物線y=x²は原点(0,0)を頂点とし、下に凸の曲線ですから、yは負になることは無いと最初から分かっているので上の断り書きは不要だと思います。

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y=x^2・・・①


x^2+(y-5/4)^2=1・・・②
①により②に代入して、yの二次方程式に帰着させるときに、x,yともに実数であることが前提ですから、①→②で、y+(y-5/4)^2=1・・・③のyの二次方程式において、y>=0を前提に解を求めないとだめです。③を実際に解くと、y^2-3/2y+25/16-1=0
となるので、整理して、y^2-3/2y+9/16=0・・・③’
③’を両辺16倍して、分数係数をなくすと、16y^2-24y+9=0・・・③’’
よって、(4y-3)^2=0から、y>=0が必要なことを確認して、y=4/3の重解を持ちます。この場合、重解を持つので、共有点の座標は、①と②が互いに接います。y=4/3=x^2より、x=+-√(4/3)=+-(2/3)√3で、共有点の座標は(+-(2/3)√3,4/3)と求まります。(+-は縦に+-の意味で、符号のみ変わるということを意味します)
ちなみに、この問題では、yの解は重解で1つで正の実数ですから、仮にy>=0の条件を忘れていても、解けてしまいますが、一般的にはxを消去したyの二次方程式が相異なる実数解をもつ場合に、y<0であると、①より、xは虚数解となり、実数解としてxは求まりません(この場合は共有点を持たないことを意味しています)。共有点の座標を求めるのに、実数で求められないということは共有点がないことを意味するので、yの前提条件として、y>=0を忘れてはなりません。
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必要なさそうですが。

この場合はyが負では解が出ないような気がします。といってもちょっと具体性にかけるので無責任ですが。いずれにしろ、yの値が出てから負にれば矛盾があるので、否定すればいいかと思います。
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