b²が３の倍数になる時、bが３の倍数になることを証明してください

b²が３の倍数になる時、bが３の倍数になることを証明してください

No.1 ベストアンサー 回答者： gatch_ky 回答日時： 2016/06/07 11:41

背理法

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2016/06/07 14:51

もう一つ、「ｂは整数である」と云う条件が無いと証明できないのでは。

逆に「bが３の倍数になる時、b²が３の倍数になる」は全ての場合に成り立ちますが。

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/06/07 13:03

アウトラインのみ。

bを整数とすると、b²=3mの形になる。
bを素因数の積であらわすと
(b1)²･(b2)²･(b3)²・・・・=3m。
素因数の一意性の定理により、左辺は3が偶数個表れることになる。
従って右辺のmには素因数3が奇数個表れることになる。
その奇数個の3を1個、前に出すとb²=3²m'（m'には３が０か偶数個）
∴b=3√m'
m'は必ず平方数になる。

No.5 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/06/07 12:59

対偶：ｂが3の倍数でないならばｂの２乗が3の倍数ではない

bは3の倍数ではないのでb＝３n土1 　n∊Z
b²＝（３n土1）²＝９n²土6n+１＝３（3n²土2n）+１だから
⇒bは3の倍数ではない

No.4 回答者： 苦瓜 回答日時： 2016/06/07 12:55

b＝3x

b＝3x－1
b＝3x+1 の3つについて証明する。

b＝3x のとき
b^2＝9x
これは 3（3x）となるため、3の倍数

b＝3x－1のとき
b^2＝9x^2 －6x +1
これは3（3x^2 －2x）+1となるため3の倍数ではない

b＝3x +1 のとき
b^2＝9x^2 +6x +1
これは3（3x^2 +2x）+1となるため3の倍数ではない

よって、b^2が3の倍数になる時、bは3の倍数になる。

No.3 回答者： zircon3 回答日時： 2016/06/07 12:30

bを整数とした場合、3は素数なので自明なのでは？

No.2 回答者： GooUserラック 回答日時： 2016/06/07 11:52

あれ？

bが√3のとき、b²=３ですよね。
3は3の倍数ですよね。
√3は３の倍数でしたっけ？
かなり数学から離れて年数がたっていますので、勘違いかもしれません。