3以上9999以下の奇数aで、(a^2)-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。

3以上9999以下の奇数aで、(a^2)-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。

という問題を
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9298935.html
の＃１で出してもらって、答えたのですが返事がありません。以下のように答えたのですがあってますか？

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題意のaについてa:=2m+1(mは1≦m≦4999なる整数）
(a^2)-a=a(a-1)=(2m+1)2m
∴(a^2)-a≡0(mod10000)⇔m(2m+1)≡0(mod 5000)…①

また、5000=(2^3)*(5^4) これと2m+1が奇数ゆえm≡0(mod 8)
そこでm:=8t (tは1≦t≦624なる整数…★）
すると①⇔8t(16t+1)≡0(mod 5000)⇔ t(16t+1)≡0(mod 625)…②（625=5^4)
ここで(mod 5)におけるtと16+1の対応は
t　16t+1
--------
0　1
1　2
2　3
3　4
4　0

ゆえに16t+1が５の倍数になるのはt≡4(mod 5)のときだけ。
以下16t+1が５の倍数にならないかなるかで場合わけする

(i)16t+1が5の倍数にならない時
②⇔t≡0(mod 625)だが1≦t≦624（★）ゆえ矛盾
(ii)16t+1が5の倍数になる時
前述のようにt≡4(mod 5)
そこでt=5k+4（★よりkは0≦k≦120なる整数）

このとき、②⇔(5k+4){16(5k+4)+1}≡0(mod 625)
⇔(5k+4)(16k+13)*5≡0(mod 625)
⇔(5k+4)(16k+13)≡0(mod 125)
⇔16k+13≡0(mod 125)…③
(mod 5)におけるkと16k+13の対応は（16k+13≡k+3(mod 5)を考慮すると）
k　16k+13
------
0　3
1　4
2　0
3　1
4　2
よってk≡2(mod 5)が必要。
そこでk:=5n+2(nは0≦n≦23なる整数)
③⇔16(5n+2)+13≡0(mod125)
⇔5(16n+9)≡0(mod 125)
⇔16n+9≡0(mod 25)・・・④
(mod 5)におけるnと16n+9の対応は（16n+9≡n+4(mod 5)を考慮すると）
n　16n+9
--------
0　4
1　0
2　1
3　2
4　3
よってn≡1(mod 5)が必要。nは0≦n≦23なる整数だったので、
nの候補は、1,6,11,16,21
このうち④を満たすのはn=1のみ。
よって、n=1⇔k=7⇔t=39⇔m=312⇔a=625

A. 625 //

No.3 ベストアンサー 回答者： fusem23 回答日時： 2016/06/09 11:02

(a^2)-a=(a-1)a は (2^4)(5^4) の倍数。

a-1 は偶数で a は奇数。
a-1 と a は互いに素なので a は 5^4=625 の倍数。
624 は 2^4 の倍数なので、625 は答の一つ。
次に条件を満たすのは (2^4)(5^4) を足した数なので、9999を超える。
よって、答は 625 の一つ。

「互いに素」という条件は使うべきだと思う。

No.2 回答者： 素人Z 回答日時： 2016/06/09 03:59

おはようございます。

僕のことですね。お礼を見ていませんでした。申し訳ございません。

合同式を利用して解いたのですね。僕は採点できる程の者ではないのですが、答案を一通り見た感じ間違ってはいないと思います。僕は、特殊解を使って解きました。
実はこれは、東大2005年度の文理共通問題で、算数、つまり小学生にも解けるという問題です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/06/09 02:22

なんかまわりくどい感じもするけど結果はあってる.