画像不鮮明で申し訳ありません。 x+2yの最大値は3+3√5、最小値は3-3√5なのですが、その際の

画像不鮮明で申し訳ありません。
x+2yの最大値は3+3√5、最小値は3-3√5なのですが、その際のxとyについてはどのように求めれば良いのでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/12 00:40

画像が不鮮明ですが、

「実数 x, y が方程式 x² + y² - 6x = 0 を満たすとき」
という条件下での話ですね。

　それを書かずには答が得られません。

　上の条件式は
　　(x - 3)² + y² = 3²　　　（１）
ですから、x、y は「中心が (3, 0) で、半径が 3 の円上にある」ということが分かります。

　これから
　　x の最大値は 6　（最小値は 0 ）
　　y の最小値は -3　（最大値は 3 ）
であることが分かります。
　これは、（１）の円のグラフを書いて、x=A, y=B の直線とこの円が共通点を持つという条件で、A, B の最大値、最小値を求めればよいわけです。

　つぎに、x+2y の最大値、最小値を求めましょう。
　x+2y = C とおけば、
　　y = -(1/2)x + C/2 　　（２）
ですから、この（２）の直線を（１）の円と同じグラフに書いて、両者が共通点を持つという条件で、C の最大値、最小値を求めればよいわけです。
　フラフを書いてみれば分かるとおり、
　　C が最大となるのは、（２）の直線が（１）の円の「上側」で接するとき
　　C が最小となるのは、（２）の直線が（１）の円の「下側」で接するとき
です。

　（１）の円と（２）の直線が（１）の円の「上側」で接するときの接点は、図から ( 3 + 3/√5, 6/√5 )
　（１）の円と（２）の直線が（１）の円の「下側」で接するときの接点は、図から ( 3 - 3/√5, -6/√5 )
になることは分かりますね？
　半径「3」の円に対して、「(x - 3):y = 1:2 」となる「円上の点」だからです。（詳しい計算はご自分で）

　これを（２）の式に代入すれば
（ａ）「上側」で接する（１）の C は、
　　6/√5 = -(1/2)(3 + 3/√5) + C/2
　よって
　　Ｃ = 3 + 15/√5 = 3 + 15√5 / 5 = 3 + 3√5
　このＣが x+2y の最大値である。

（ｂ）「下側」で接する（１）の C は、
　　-6/√5 = -(1/2)(3 - 3/√5) + C/2
　よって
　　Ｃ = 3 - 15/√5 = 3 - 15√5 / 5 = 3 - 3√5
　このＣが x+2y の最小値である。

　上のように、円を書いて、それに接する直線の「ｙ切片」が最大、最小になる直線を求める、ということで解くのが一番簡単だと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。よく分かりました。

お礼日時：2016/06/13 15:43

No.2 回答者： GBde 回答日時： 2016/06/11 23:55

{-6 x + x^2 + y^2 == 0, x + 2 y == 3 (1 + Sqrt[5])}

　　　　　　　　　　の方は

{{x -> 3/5 (5 + Sqrt[5]), y -> 6/Sqrt[5]}}

No.1 回答者： GBde 回答日時： 2016/06/11 23:51

其処まで　真に　理解済みなのでしたら　あとは　連立方程式

{-6 x + x^2 + y^2= 0, x + 2 y = 3 (1 - Sqrt[5])}
　　
　　　　　　　　　を　解くだけで；

(x,y)=( 3/5 (5 - Sqrt[5]), -(6/Sqrt[5])) [接点] です。



　　　　世界の　人々が為す正攻法の

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier

　　　　　　が　優れもの　です。

　 どうぞ　此の　方法で 為さずにはイラレナイ　人に!