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数学のベクトルの問題です。

四角形ABCDに対して、次の問いに答えよ。
(1)点PをAP↑+BP↑+CP↑+DP↑=0となる点とする。AP↑をAB↑、AC↑、AD↑を用いて表せ。
(2)線分ACと線分BDが交わり、その交点が(1)の点Pと一致するとき、四角形ABCDの形状を理由をつけて述べよ。

(1)はわかったのですが、(2)が全くわかりません。詳しく解説していただけるとありがたいです。(別解の解説をお願いします。)

「数学のベクトルの問題です。 四角形ABC」の質問画像
gooドクター

A 回答 (1件)

別解の解説ですか?



Pは、AC、BD上にあるから
 CP↑ = aPA↑ (a ≧ 0)   (B)
 DP↑ = bPB↑ (b ≧ 0)   (C)
と表わせます。これを
 AP↑+BP↑+CP↑+DP↑=0  ①
に代入すれば
 AP↑+BP↑+aPA↑+bPB↑=0
PA↑= -AP↑, PB↑= -BP↑ であるから
 (1 - a)AP↑+ (1 - b)BP↑= 0   (A)

ここまでは多分よろしいのでしょうね。
ここで、
 AP↑≠ 0 (ゼロベクトルではない、|AP|≠ 0)
 BP↑≠ 0 (ゼロベクトルではない、|BP|≠ 0)
であるのはよいですね?
また、AP↑とBP↑とは平行ではないので、(A)の =0 が成立するには
 a=1 かつ b=1
しかないということです。

ここがよく理解できないところでしょうか。
もしb ≠ 1 であっても(A)が成立するとすれば、
  BP↑= -[ (1 - a)/(1 - b) ] AP↑
と書けて、AP↑とBP↑は同じ線分上にあることになってしまいます。つまりPはAB上(またはその延長上)にあることになり、ABCDが四角形であることと矛盾します。
同様に、a ≠ 1 であっても(A)が成立するとすれば、
  AP↑= -[ (1 - b)/(1 - a) ] BP↑
と書けて、やはりAP↑とBP↑は同じ線分上にあることになってしまいます。これもPはAB上(またはその延長上)にあることになり、ABCDが四角形であることと矛盾します。
ということで、AP↑とBP↑とが平行ではないならば、(A) が成立するには
 a=1 かつ b=1
である必要があるいうことです。

これさえ理解できれば、(B)(C)より
  CP↑ = PA↑
  DP↑ = PB↑
なので、Pは「ACの中点、かつBDの中点」ということになります。
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