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高校数学です

AB→とBC→の両方に垂直な単位ベクトルを求めよという問題です。

A(1,1,-1),B(1,-1,1),C(1,1,-1)

解き方と答えを教えてほしいです。

A 回答 (3件)

AB→=(OB→)-(OA→)=(1,-1,1)-(1,1,-1)=(0,-2,2),


BC→=(OC→) -(OB→)=(1,1,-1)-(1,-1,1)=(0,2,-2)とそれぞれ求まりますから、求める単位ベクトルe→=(x.y,z)とおくと、AB→に垂直より、内積:e→・(AB→)=0だから、-2y+2z=0・・・①、同様にBC→に垂直より、(e→)・(BC→)=2y-2z=0・・・②.
ここで、②よりy=z・・・②’
また、①より、z=-y・・・①’
さらに、e→は単位ベクトルより、x^2+y^2+z^2=1・・・③
②’、①’→③から、x^2+2y^2=1・・・④が得られますが、これからx,yは求まりません。④を満たす実数x,yは無限にあります。
ということですので、求める単位ベクトルが決まるためには、他の条件(例えば、e→がある空間ベクトルに平行など)がないと一意に求まりません。

このような問題を通常の試験に出すとしたら、上記を満たす単位ベクトルが求まるかどうか考えよという出題にした方がよいような気がします。
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まず、異なるベクトルを二つ使うと、平面が作れる、ということを覚えて下さい。


その平面と垂直な単位ベクトル、ということでもあります。

求めるベクトルの数倍の物を、(a,b,c)と置くと、AB→とそれが直角だと、何がどうなりましたっけ?
BC→とそれとが直角だとどうか。
判らなければ、教科書参考書を読み直して下さい。つらつら眺めれば載ってそうなものです。
おそらくは、数式が二つできて、解くと、求めるベクトルが、aかbかcのどれか一つの文字で表せるはずです。
条件は、単位ベクトルですから、出てきたベクトルを、単位ベクトルの長さにしてやれば良いです。

できるところまでやって、それでも解らなければ、やったことを書いてみて下さい。

なお、答えを覚えればいいんだろう、やり方を覚えればいいんだろう、という勉強法は、数学の場合、概ね間違いです。
覚えるには違いありませんが、失敗を繰り返した上で覚えていかないと、いざ問題を解こうとしても解けません。
それで解けるとすれば天才君でしょうが、天才君ならこの質問はしてません。
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一般論的には「そのようなベクトルの各成分を文字でおいて方程式を解けばいい」だけなんだが....



これ, A と C が同じだから「AB→とBC→の両方に垂直な単位ベクトル」は (逆方向であるものを同一視しても) 一意には決まらないよ. 問題を写し間違えてないか?
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