次の問題を教えてください。
3次方程式 x^3+3(k-1)x^2-12kx-8=0 が2重解、または3重解を持つような実数の定数kの値をすべてもとめよ。

です。どうも途中で計算が合わなくなってしまうので、わかりません。
よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

>x=-2k,2なので、kを場合わけして


>f(-2k),f(2)を考えていけばいいのか・・・という感じです。
わかってるじゃないですか。

>3重解となるのは極大値<0または極小値>0または単調に増加のときである。
本当に参考書にそんなことが書いてありましたか?
実数の3重解を持つなら、接線が0になるような点は一つしかない、つまり単調増加の場合
しかないはずです。(確認して下さい)

とりあえず2重解について考え方を書いておきます。

いまkが実数の場合を考えるのですから元の3次方程式の係数はすべて実数です。
また実数係数の3次方程式が2重解を持つならば、その2重解は必ず実数です。
つまり2重解をもつ場合は2つの実数解を持ちます。これをグラフで考えてみると、
2重解を持つ場合はグラフの極大値または極小値のところでx軸に接していることがわかります。

そこで元の式が極大値または極小値をとるようなxで式の値が0になるようにkを決めてやります。

極値をとるxを決めるため、元の式を微分して
3 x^2 + 6(k-1)x -12 k
を得ます。極値は2つなければいけないので判別式の中は0でないことが必要です。
そこでまず
k≠-1
という条件が得られます。(k=1の場合が3重解に相当します)
あとはxについての2次方程式
3 x^2 + 6(k-1)x -12 k = 0
を解いて得られた2つの解 x=-2k,2 を元の式に代入してその値を0とおいてやると
kについての3次方程式が得られます。これを解いてkの値が得られます
ただし k=-1は2重解に対する答えにならないことに注意して下さい。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

遅くなってすみませんでした。
3重解の場合は、私の解釈違いでした。参考書には書いてありませんでした。(当たり前ですけど・・・)
教えていただいたやり方でといていくと理解する事が出来ました。途中までは自分のやり方で合っていたので少し自信がつきました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/23 14:06

ちょっと誤解してた所があったようで、ご免なさいね。



お詫びにと言うわけではないのですが、別解をひとつ。


f(x)=0の3つの解をα,β,γとすると、f(x)のx^3の係数は1だから

f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ) = x^3 - (α+β+γ)x^2 + (βγ+γα+αβ)x - αβγ

これと元の式の係数を比較すると

α+β+γ = -3(k-1)    …(i)
βγ+γα+αβ = -12k    …(ii)
αβγ = 8    …(iii)

となります。これを使うと

(I)3重根の時
α=β=γより

3α = -3(k-1)    …(i)'
3α^2 = -12k    …(ii)'
α^3 = 8    …(iii)'

(iii)'より、α^3 - 8 = (α-2)(α^2+2α+4) = 0
α^2+2α+4 = (α+1)^2 + 3 > 0 よりα = 2、これを(i)'へ代入すると
3*2 = -3(k-1) 
∴k = -1    …(iv)

これは(ii)'をも満たすので求めるkの条件である。

(II)2重根の時
α=β≠γ, k ≠ -1より

2α+γ= -3(k-1)    …(i)''
2αγ+α^2 = -12k    …(ii)''
α^2γ = 8    …(iii)''

(i)''よりγ = -2α-3(k-1)    …(v)
これを(ii)''へ代入して
2α{-2α-3(k-1)}+α^2 = -12k、整理して(α-2)(α+2k) = 0 ∴α=2, -2k

i)α=2の時
(iii)''よりγ=2、これはα≠γに反する。

ii)α=-2kの時
(v)よりγ = -2(-2k)-3(k-1) = k+3    …(vi)
よってα=-2kと(vi)を(iii)''へ代入すると
(-2k)^2(k+3) = 8、整理して(k+1)(k^2+k-2)=0

k≠-1よりk^2+k-2=0 ∴k = -1±√3
このときα = -2k = -2干2√3), γ = 2±√3 (複号同順)

以上よりf(x)=0は
k=-1の時3重根x=2をもち、
k=-1±√3のとき2重根x = -2干2√3)と他の解x = 2±√3(複号同順)を持つ。    (解答終)



この解法のいい所は、値をいちいちf(x)に代入してf(x)=0を確認する必要のない事です。
最初にあのようにα,β,γを定義した時点でこれらはf(x)=0を満たしているからです。
    • good
    • 0

 いまざっと計算してみただけなので、計算間違いがあったらごめんなさい。

ひょっとして、K=-1の一解だけでしょうか?

 この3次方程式が上記の条件を満たす場合は、(1)この3次方程式のグラフが変曲点(この点が重解)でX軸と接した上、もう1点でX軸と交差する場合。(2)この3次方程式のグラフはひとつの変曲点しかなくて、この点でX軸と接する(交わる?)場合(3重解)。のいずれかと思います。

 そうすると、この3次方程式をXに関して微分して、
3x^2+6(k-1)x-12k=0 ……(A)
という2次方程式が実数解を持つことが求められます。
この2次方程式が二つの異なる実数解を持てば、そのうちのひとつが(本来の3次方程式の)重解となるでしょうし、この2次方程式がひとつの実数解(重解)を持てば、これが(本来の3次方程式の)3重解となると思います。

 この2次方程式(A)を整理すると、
x^2+2(k-1)x-4k=0 
x^2+2(k-1)x +(k-1)^2-(k-1)^2 -4k=0
{x+(k-1)}^2-(k^2-2k+1+4k)=0
{x+(k-1)}^2-(k^2+2k+1)=0
{x+(k-1)}^2-(k+1)^2=0 ……(B)

 この(B)が実数解を持つためには、頂点{-(k-1),(k+1)^2}がx軸上か、X軸より下方にあればよいことになります。すなわち、
(k+1)^2 <= 0 ……(c)
を満たせばよいことになります。

 このためには、k=-1 のただひとつが条件を満たすことになるかと思います。

 どうでしょうか?

この回答への補足

ご回答ありがとうございました。返事が遅くなってすみません。
oodaikoさんに教えていただいたやり方で自分で解いてみたのですが、答えはk=-1
以外にも-1+√3,-1+√3がでてきました。あと、taropooさんに教えていただいた別解でもその答えでした。
だから、多分答えはその3つになると思います。
でも、numa00さんに教えていただいたように図で考えるのもわかりやすいなあと思いました。

補足日時:2001/06/23 14:08
    • good
    • 0

どこまでどう考えてどこでつまづいたの?



この質問なんかまだましですが、上の方など宿題の丸投げにしか見えませんよ。

この回答への補足

やったところまで書きます。
f(x)=x^3+3(k-1)x^2-12kx-8とおくと、
f'(x)=3x^2+6(k-1)x-12x
=3(x+2k)(x-2) となる。
(ここからは参考書を見ながらやりました。)
解が2重解となるのは極大値=0または極小値=0のときで、3重解となるのは極大値<0または極小値>0または単調に増加のときである。
(ここからわかりません)
x=-2k,2なので、kを場合わけして
f(-2k),f(2)を考えていけばいいのか・・・という感じです。

わからない問題を集めて書いているので宿題の丸投げにしか見えないかもしれませんが、一応全部考えてはいます。だから今度からは出来るだけ詳しく書いていきたいとは思いますが、本当にわからないものも多いのでよろしくお願いします。

補足日時:2001/06/21 01:40
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q3次方程式X^3+3X^2-8X+k=0 (kは実数)がX=2を解にも

3次方程式X^3+3X^2-8X+k=0 (kは実数)がX=2を解にもつとき、この方程式の残りの解の和を教えてください。解き方もお願いします。

Aベストアンサー

まず、kの値を出します。
Xに2を代入して整理すると、K=-4となります。

X=2を解にもつということは、(X-2)でくくれるということですので、割り算をすると、
(X-2)(X^2+5X+2)=0となるはずです。

そして、割り算をして出てきた(X^2+5X+2)の解が残りの解となるわけです。
2次方程式の解と係数の関係から、残りの解の和は「-5」
となります。

Qxの方程式x^3-12x^2+36x-18=kx-4kが異なる3つの正の解を持つようなkの範囲

表題の問題(03年、関西学院大)ですが、問題集のヒントには
(1)極大値、極小値を持つ
(2)極大値×極小値<0
と書いてありました。私の解釈ではf(x)=x^3-12x^2+(36-k)x+4k-18とおき、(1)はf'(x)の判別式が正になると考え、-12<kと導きました。
次に(2)を計算するため極大値・極小値を求めようとしたのですが根号を含む複雑な式となるため、上手く解けませんでした(問題集には目標時間10分と書いてありますが、大幅に超えてしまいます)。
なお、ヒントにはありませんが、異なる3つの正の解を持つにはf(0)<0と考え、k<18/4と導きました。
解法又は答え、誤っている考え方がありましたら教えて頂けると助かります。

Aベストアンサー

その問題集のヒントはちょっと計算が大変なので薦めない。
但し、もしやるのなら、極大値×極小値<0については、f´(x)=0の2つの解をα、βとすると、f(α)*f(β)<0として、解と係数から、α+β=8、αβ=(36-k)/3を使うと良い。

では、どうしたら良いか?

x^3-12x^2+36x-18=k(x-4)と変形して、3次曲線:y=x^3-12x^2+36x-18と直線:y=k(x-4)が異なる3つの正の交点を持つためのkの条件として求める。
直線:y=k(x-4)は定点(4、0)を通る直線で、kはその傾き。
従って、微分を使って3次曲線:y=x^3-12x^2+36x-18を書き、直線と正の異なる3交点を持つためのkの条件を求める。

実際の計算は自分でやって。

Q3次方程式x^3-3x-p=0 (p定数)の実数解のうち最大なものと最

3次方程式x^3-3x-p=0 (p定数)の実数解のうち最大なものと最小なもの
との積をf(p)する。ただし、実数解が1つのときはそれを2乗する。
pがすべての実数とするとき、f(p)の最小値を求めよ。

次のように考えましたが、よいでしょうか。
与式が実数解を少なくとも2つもち、最小値を考えるから、pの範囲を-2<=p<=0とする。
与式の解をα、β、r とし、α<0<β<=rのときで考えば十分である。
解と係数の関係から、
α+β+r=0,αβ+βr+rα=3,αβr=p
最小値より、αrの値を考えればよい。αr=kとおくと、
3本の式から、k^3+3k^2-p^2=0 ・・*
-2<=p<=0より、0<=p^2<=4 で、*の実数解の最小値を考えると
k=-3となる。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。

>y=x^3-3xのグラフの対称性、また、明らかに最小値はマイナスから、
>pの範囲を-2<=p<=0とし、(i)は除かれるとしました。
このあたりをきちんと説明できていれば、-2≦ p≦ 2の範囲に限定することができますね。
ただし、いきなりこの範囲に限定するとしてしまうと、確実に減点をくらいます。

たとえば、
-----------------------------------------------------
方程式:x^3- 3x- p= 0の解は、曲線:y= x^3- 3xと直線:y= pの共有点の x座標として与えられる。
g(x)= x^3- 3xとおいて、y= g(x)のグラフを考えると図のようになり(グラフの概形を描いておいて)、
(i) p< -2, 2< pのとき、実数解は 1個
(ii) p= ±2のとき、実数解は 2個
(iii) -2< p< 2のとき、実数解は 3個

となる。
(i)のとき、明らかに f(p)> 0である。
また、(ii), (iii)のときには、グラフの対称性より f(p)< 0となる。-----------------------------------------------------

このくらいまで論じておかないといけません。
逆にここまでだけでもかけておけば、入試ではある程度点数がもらえるとは思います。

#1です。

>y=x^3-3xのグラフの対称性、また、明らかに最小値はマイナスから、
>pの範囲を-2<=p<=0とし、(i)は除かれるとしました。
このあたりをきちんと説明できていれば、-2≦ p≦ 2の範囲に限定することができますね。
ただし、いきなりこの範囲に限定するとしてしまうと、確実に減点をくらいます。

たとえば、
-----------------------------------------------------
方程式:x^3- 3x- p= 0の解は、曲線:y= x^3- 3xと直線:y= pの共有点の x座標として与えられる。
g(x)= x^3- 3xとおいて、y= g(x)の...続きを読む

Qx^2+kx-k-3=0とx^2-x+2k=0が共通の解をもつとき

x^2+kx-k-3=0とx^2-x+2k=0が共通の解をもつとき、その共通解は何か。ただしk≠-1とする。
という問題が解けません。
すみませんがどなたか途中式含め教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

共通解を α とでもおいて α と k の連立方程式と見るのが普通かな.

Q≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3

≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3=8…(2)を満たす。
(1)x^2+y^2+z^2をzを用いて表せ。

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3
の関係式を使ってみようかな。。。
って思ったんですが…できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。
x^2+y^2はx+yとxyで表せますね。
だから目標はxyをzで表すことです。

(1)が使えるように(2)を変形してみる。
(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=8
(1)を代入してみる。
2^3-3xy*2+z^3=8
xy=z^3/6
となった。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報