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条件付き極値問題について教えてください

x^2+2y^2-4=0の下で、z=xyの最大値と最小値値を求めよ
という問題なのですが解き方と解答がわかりません

所持しているテキストに詳しい説明が載っていないのでよくわかりません
出来れば解説もお願いします

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

2つ解法があります。



1)条件が楕円なので x = 2cosθ、y=√(2)sinθ とし、z をθの関数として
解く。

z(θ)=2cosθ√(2)sinθ
dz/dθ = 2√(2){-(sinθ)^2+(cosθ)^2}
つまり停留点は θ=(1/4)π, (3/4)π, (5/4)π, (7/2)π
それぞれのzの値は

z=√2, -√2, √2, -√2

以上から、最大値は √(2), 最小値は -√(2)

2) ラグランジュの未定乗数法を使う。

h(x, y, λ)=xy+λ(x^2+2y^2-4)

但し、ラムダはラグランジュの未定乗数。

∂h/∂x = y + 2λx = 0 → 2y^2+4λxy=0
∂h/∂y = x + 4λy = 0 → x^2+4λxy = 0

従って x^2 = 2y^2

これを x^2+2y^2-4 = 0 に入れると

4y^2 = 4 → y^2=1, x^2=2

つまり、停留点は
A=(√(2), 1), B=(-√(2), 1), C=(√(2), -1), D=(-√(2), -1)

の4点。それぞれの z値は

A→ √2, B→-√(2),C→-√(2),D→√(2)

以上から、最大値は √(2), 最小値は -√(2)
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ついでに 3') 本質的に 3) と同じだがより低学年向け:


(x + √2y)^2 = x^2 + 2√2xy + 2y^2 = 4 + 2√2z ≧ 0 より z ≧ -√2.
一方 (x - √2)^2 = 4 - 2√2z ≧ 0 より z ≦ √2.
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3) 相加相乗平均の関係を使う: x^2 + 2y^2 - 4 = 0 を満たす任意の x, y に対して符号を変えたものもまたこの等式を満たすから, x > 0, y > 0 の制限のもとで z = xy の最大値を求めれば十分. そしてそのとき


z = √(x^2y^2) = √[(x^2 ・ 2y^2)/2] ≦ (1/√2) [(x^2 + 2y^2)/2] = √2.
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