確率変数 期待値 分布

画像で載せた問題の解き方がわかりません。
わかる方回答と解説をお願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/13 14:05

時間ができたので解いてみました。

　確率分布 F(X) の意味するところは
　　X = -1 になる確率が 1/6
　　X = 0 になる確率が 1/2
　　X = 1 になる確率が 1/3
ということです。

　卑近な例でいえば、ギャンブルで、
　　3万円損する確率が 1/6
　　損得なしの確率が 1/2
　　3万円得する確率が 1/3
のようなことです。
　この場合には、
　　X = -30,000円 になる確率が 1/6
　　X = 0円 になる確率が 1/2
　　X = 30,000円 になる確率が 1/3
ということです。「確率変数」が「獲得金額」に相当します。
　これで勝負したときに、獲得金額（損得）はどうなると「期待されるか」、というのが「期待値」です。
　　-3万 * (1/6) + ０* (1/2) + 3万* (1/3) = +5千円
となって、順当な勝負であれば１回あたり +5千円 でプラスになりそうです。
　「1回あたりの平均的な損得額」ですから、10回勝負すれば、その10倍の + 5万円になると「期待」できますね。

(a) ということで、定義どおり
　　期待値 = (-1) * (1/6) + 0 * (1/2) + 1 * 1/3
　　　　　= -1/6 + 1/3
　　　　　= 1/6

　分散は、X の平均値（期待値）からのバラツキ（偏差の２乗）に確率をかけて合計したものですから、
　　分散 = [ (-1) - (1/6) ]^2 * (1/6) + [ 0 - (1/6) ]^2 * (1/2) + [ 1 - (1/6) ]^2 * (1/3)
　　　　= 17/36

(b) 「１～６の目のサイコロを２回振ったときの合計の目の数」のようなことです。１回目に目がいくつ、２回目に目がいくつ、ということで決まります。
　「確率変数」（獲得金額）は X1=-1, 0, 1、X2=-1, 0, 1 とばらつきますから。この「組合せ」を考えないといけません。
　また、この場合の発生確率は F(X1+X2) = F(x1) * F(X2) です。（X1とX2が同時に起こる確率）

　従って、確率分布は次のようになります。

　　X1　　X2　　F(X1+X2)　
　　-1　　-1　　　1/36
　　-1　　 0　　　1/12
　　-1　　 1　　　1/18
　　 0　　-1　　　1/12
　　 0　　 0　　　1/4
　　 0　　 1　　　1/6
　　 1　　-1　　　1/18
　　 1　　 0　　　1/6
　　 1　　 1　　　1/9

「確率変数」（獲得金額）で整理して
　　X1 + X2　　F(X1+X2)　
　　　-2　　　　1/36
　　　-1　　　　1/6
　　　 0　　　　13/36
　　　 1　　　　1/3
　　　 2　　　　1/9

（注）答えることは要求されていませんが、これで「期待値」「分散」を計算すると
　　期待値 = -2/36 - 1/6 + 1/3 + 2/9 = 12/36 = 1/3 ← (a) の２倍
　　分散 = [ -2 - (1/3)]^2 * (1/36) + [ -1 - (1/3)]^2 * (1/6) + [ 0 - (1/3)]^2 * (13/36) + [ 1 - (1/3)]^2 * (1/3) + [ 2 - (1/3)]^2 * (1/9) = 17/18 ← (a) の２倍
となっていることが分かります。

(c) 確率変数が「X1 + 3X2 」というのは分かりづらいですが、「確率変数」を上の卑近なギャンブルの例のように「獲得金額」と考えると、確率変数 3X2 とは勝負 X2 に対して「1回あたりの獲得金額が3倍になった」ということです。
　つまり
　　3X2 = -3 になる確率が 1/6
　　3X2 = 0 になる確率が 1/2
　　3X2 = 3 になる確率が 1/3
ということです。

　従って、(b) と同じ確率分布を書き出すと次のようになります。

　　X1　　3X2　　F(X1+X2)　
　　-1　　-3　　　1/36
　　-1　　 0　　　1/12
　　-1　　 3　　　1/18
　　 0　　-3　　　1/12
　　 0　　 0　　　1/4
　　 0　　 3　　　1/6
　　 1　　-3　　　1/18
　　 1　　 0　　　1/6
　　 1　　 3　　　1/9

「確率変数」（獲得金額）で整理して
　　X1 + X2　　F(X1+X2)　
　　　-4　　　　1/36
　　　-3　　　　1/12
　　　-2　　　　1/18
　　　-1　　　　1/12
　　　 0　　　　1/4
　　　 1　　　　1/6
　　　 2　　　　1/18
　　　 3　　　　1/6
　　　 4　　　　1/9

(b) に付記したのと同じように期待値、分散を計算すると。

　　期待値 = (-4)*(1/36) + (-3)*(1/12) + (-2)*(1/18) + 0*(1/4) + 1 * (1/6) + 2 * (1/18) + 3 * (1/6) + 4 * (1/9) = 2/3 ← (a) の4倍

　　分散 = [ -4 - (2/3)]^2 * (1/36) + [ -3 - (2/3)]^2 * (1/12) + [ -2 - (2/3)]^2 * (1/18) + [ -1 - (2/3)]^2 * (1/12) + [ 0 - (2/3)]^2 * (1/4) + [ 1 - (2/3)]^2 * (1/6) + [ 2 - (2/3)]^2 * (1/18) + [ 3 - (2/3)]^2 * (1/6) + [ 4 - (2/3)]^2 * (1/9) = 85/18 ← (a) の10倍（X1の1倍 + X2の 3^2 倍）

　つまり、期待値もともとの E(X1)、 E(X2)、分散 V(X1)、 V(X2) に対して
　　E(X1 + 3X2) = E(X1) + 3E(X2) = 4E(X1)
　　V(X1 + 3X2) = V(X1) + 3^2 V(X2) = 10V(X1)
になっています。
↓　詳しくは、こんなところを参考に。
http://mathtrain.jp/exvarcov


(d) 「正規化」とは「平均値がゼロ、分散（標準偏差）が１」の分布ということです。
　(c) で見たように、期待値については
　　E(aX) = aE(X)
　　E(X + b) = E(X) + b
という法則、分散については
　　V(cX) = c^2 * V(X)
　　V(X + d) = V(X)
という法則があります。

　これを使って、確率変数 X を
　　X → aX + b
に変えたとすると
　　E(aX + b) = E(a(X + b/a)) = aE(X + b/a) = a(E(X) + b/a) = aE(X) + b
　　V(aX + b) = V(a(X) = a^2 V(X)
ということになります。これが
　　E(aX + b) = aE(X) + b = 0
　　V(aX + b) = a^2 V(X) = 1
となるためには
　　E(X) = 1/6, V(X) = 17/36
より
　　a = 6/√17 = ±6√17/17
　　a = 6√17/17　のとき　b = -√17/17
　　a = -6√17/17　のとき　b = √17/17
ということになります。

　つまり、正規化した確率変数 Xs は
　　Xs = (6√17/17)X - √17/17
または
　　Xs = -(6√17/17)X + √17/17
となります。

　検算で、(a)のように期待値、分散を計算してみると
　　期待値 = ( -6√17/17 - √17/17 ) * (1/6) + (- √17/17) * (1/2) + ( 6√17/17 - √17/17 ) * 1/3
　　　　　= -7√17/102 - √17/34 + 5√17/51
　　　　　= 0

　　分散 = [ ( -6√17/17 - √17/17 ) - 0 ]^2 * (1/6) + [ - √17/17 - 0 ]^2 * (1/2) + [ ( 6√17/17 - √17/17 ) - 0 ]^2 * (1/3)
　　　　= (7√17/17)^2 ** (1/6) + (√17/17)^2 * (1/2) + (5√17/17)^2 * (1/3)
　　　　= 49/102 + 1/34 + 25/51
　　　　= 1
で、確かにそうなりました。

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/07/09 03:42

(a) 定義に従って, 期待値 E(X_1), 分散 V(X_1) を求める.

(b) 確率変数 X_1 + X_2 が取り得る値をすべて書き, それぞれの値について確率を計算して, 確率分布表を作成する.
(c) E(X_1 + 3X_2), V(X_1 + 3X_2) を, それぞれ E(X_1), E(X_2), V(X_1), V(X_2) を用いて表し, それを使って計算する.
(d) 定数 a, b (a > 0) を用いて Y = aX_1 + b と表される確率変数 Y が, E(Y) = 0, V(Y) = 1 を満たすように a, b の値を定める.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/07/09 01:33

(a) だけ: 定義の通り計算する.