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位置エネルギーの極小点近傍で運動する質量mの物体の運動方程式とはどういう意味ですか?
位置エネルギーはU(x)=ae^(-bx)/b+ax-a/bです。
前問で三項までのテイラー展開も求めています。

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A 回答 (2件)

-dU/dx = ma



ということです。後は 極小点近傍でのテイラー展開を
代入して微分方程式を解くだけ。
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極小点は平衡点。


その近傍とは平衡点からのズレが小さい、と言うことですから、
近似式が成立する・・・と言うことです。
振動すると言うことでしょうね。
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Q保存力かどうかの判定と位置エネルギーの求め方

F~=-kxh-kyi-kzj についてこの力が保存力と非保存力のどちらかであるかを、理由をつけて述べなさい。
また保存力であれば位置エネルギーをもとめなさい。ただし~はベクトル、h,i,jはそれぞれx、y、z方向の単位ベクトルとする。
という問題なのですが保存力かどうかの判定は∇×F~=0となれば保存力であることがわかったのですがそこの計算の仕方がいまいちわかりません。また位置エネルギーの求め方もわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

位置エネルギーの定義から

r=(x, y, z), r0=(x0, y0, z0)、E=-∫F・dr(経路は原点からr0まで)

が、原点を基準にした r0 での位置エネルギー。

積分すれば E = (1/2)k|r0|^2

Qcosxのx=π/4を中心とするテイラー展開をはじめの3項まで求めよ x1=0 x2=π/4 x3=

cosxのx=π/4を中心とするテイラー展開をはじめの3項まで求めよ
x1=0 x2=π/4 x3=π/2でのcosxの値から0≦x≦π/2でのラグランジュ補間を求めよ
これが全くわかりません!
教えてください…

Aベストアンサー

cosxのx=π/4の周りのテイラー展開
cosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 + {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx)  
(0<θ<1)

x1=0 x2=π/4 x3=π/2でのcosxの値から0≦x≦π/2でのラグランジュ補間式f(x)
f(x) = (4/π^2)・{2(x-π/4)(x-π/2)-√2・x(x-π/2)}

計算ミスなければ・・!?

Q位置エネルギーから電気エネルギーへの変換効率 考察お願いします‼

位置エネルギーから電気エネルギーへの変換効率
考察お願いします‼

Aベストアンサー

No.4です。

>なぜ、100%は実現不可能何ですか?

摩擦や空気の抵抗などがあるからです。
ダムの水が「水路」を通って流れるときにも、「水」と「水路」の抵抗でエネルギーのロス(損失)があります。「ドーっ」という流れる音がするということは、エネルギーが「音のエネルギー」に変わって無駄に使われているということです。音だってエネルギーですから。

発電機の軸が回るときには「摩擦」があるし、発電機の「導線」には小さいながら抵抗があるので発熱します。それらは「熱エネルギー」として無駄(損失・ロス)になります。

そういう「ロス」のため、位置エネルギーをすべて(100%)電気エネルギーに変えるのは「現実には不可能」なのです。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
これを上式(1)のように微分すれば、F = -kxとなります。重力にしても同様に求まります。
ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たと...続きを読む

Aベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。


この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δy, Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔU = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(*)の式に等しく

ΔU = grad U ・ Δr=ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
   =- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

>というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

3次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は3次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとる...続きを読む

Q保存力になるための条件

平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。4点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにA(x,y),
B(x+Δx,y),C(x,y+Δy),D(x+Δx,y+Δy)。(つまり、AB=DC=Δx,DA=CB=Δyの微笑長方形)
経路A→B→Cに沿った仕事をW(1),経路A→D→Cに沿った仕事をW(2)と呼ぶこととする。
学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、62ページを見てください。上のAがPのことで、CがP'のことです。

W(1)=Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y)  ←(1)
   =FxΔx+FyΔy+(Fyをxで偏微分)ΔxΔy ←(2)
W(2)=Fy(x,y)Δy+Fx(x,y+Δy)Δx ←(3)
   =FxΔx+FyΔy+(Fxをyで偏微分)ΔxΔy ←(4)
ここでFx(x,y)は、(x,y)におけるx方向の力を表している(Fxはx方向の力)のだとおもいます・・・。教科書に明記はないです。違ったらスイマセン
高次の微少量は無視した・・・らしいです。
W(1)-W(2)={(Fyをxで偏微分)-(Fxをyで偏微分)}ΔxΔy であり
この力が保存力であれば、W(1)=W(2)となることから、
(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分) が導かれる。
逆に(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分)が保存力になる条件である。
という流れなんですが、上の(1)(2)(3)(4)で
(1)と(3)は解っているつもりなんですが、(1)をどう計算すれば(2)になるのか、(3)をどう計算すれば(4)になるのかがサッパリわかりません。

先生がここ飛ばしちゃったから、自分で理解しなくちゃいけなくなったのですが、もう何も浮かばなくて・・・(汗)
皆さんの頭脳に期待しています。助けてください。

平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。4点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにA(x,y),
B(x+Δx,y),C(x,y+Δy),D(x+Δx,y+Δy)。(つまり、AB=DC=Δx,DA=CB=Δyの微笑長方形)
経路A→B→Cに沿った仕事をW(1),経路A→D→Cに沿った仕事をW(2)と呼ぶこととする。
学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、62ページを見てください。上のAがPのことで、CがP'のことです。

W(1)=Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y)  ←(1)
   =FxΔx+FyΔy+(Fyをxで偏微分)ΔxΔy ←(2)
W(...続きを読む

Aベストアンサー

(1) の
第二項は Fy(x+Δx,y)Δy
ですよね単位は仕事量なので。

xについての一次までのテイラー展開で

Fy(x+Δx) = Fy(x)+d(Fy(x))/dx *Δx

となるので、(1)に代入すれば良いと思います。

テイラー展開はいつでも使えるようにしておいた方が良いと思います。

Q速度と速さの違い

速さが正で速度がプラスもマイナスも取れるのだと思っていましたが、間違えていたみたいです。

正しく教えて下さい。

Aベストアンサー

速度とは、単位時間あたりの物体の変化(向きと大きさ)
速さとは、単位時間あたりの物体の移動距離(大きさ)
です。

Q水力発電(位置エネルギー)

高さ(落差)50mのダムから水を落下させて水力発電を行う。
重力加速度の大きさを9.8m/s^2とする。

水を毎秒1.2トンの割合で落下させて発電する。水の位置エネルギーの20%が利用できるとして、このとき得られる仕事率(電力)P[kw]を求めよ。

1世帯当たりの1日の平均使用電力量(電流がする仕事)を3.0kWhとすると、この発電所はおよそ何世帯分の電力をまかなうことが出来るか。

仕事率Pは、1.2*10^3[kg]*9.8[m/s^2]*50[m]*(20/100)*10^(-3)=1.176*10^2[kw]と出ました。

しかし、何世帯分の電力をまかなえるかがわかりません。
教えてください。

Aベストアンサー

>模範解答に60^2がないんですよね。
>そこがわからないんです。

 そうでした。確かに 60^2は余計です。
 kWhは1kWの電力を1時間使い続けたときの電力量ですので、単純に24Hを掛ければ良かったのです。

 混乱する場合は、kWh単位をやめてJ単位で考えてみても良いと思います。

  1日の発電量:     P×60^2×24 [J]
  1日の平均使用電力量: 3000×60^2 [J]

 このようにすると、世帯数を求める式は、

  P×60^2×24 / 3000×60^2 =P×24/3000

となり、60^2 が消えることが確かめられます。

Q保存力→ポテンシャル→力 の計算過程について

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
 Fx = -ax(x^2+y^2)
 Fy = -ay(x^2+y^2)

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
 ∂Fx/∂y = -2axy
 ∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね?(ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・)

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0 であるとすれば、 U(x,y)については線積分で

 U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
      -∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}

で与えられ、これについてはおそらく計算間違いでない限り

 U(x,y) = 1/4 * (x^4 + y^4) + (x^2)*(y^2)

となると思います。しかしすると、力を求めるときの
 F = -∇U
に以上の式を代入しますと、

 Fx = -ax(x^2 + 2*y^2)
 Fy = -ay(2*x^2 + y^2)

となり、はじめに提示された力とは若干異なる数値がでてきてしまいます。

これについて疑問を抱いたのですが、あまりにも初歩的で手順が間違ってたとは思えず…おそらく何かを勘違いしているのだと思っています。
(恐らく線積分は始点終点の問題があるのでその辺りに原因か)

このようなことは起こり得ますか? それとも計算ミスなのでしょうか…
そもそもこのような検算方法は完全ではないのでしょうか
私の誤解にお気づきになられた方はお教えいただけると幸いです。

宜しくお願いいたします。

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
 Fx = -ax(x^2+y^2)
 Fy = -ay(x^2+y^2)

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
 ∂Fx/∂y = -2axy
 ∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね?(ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・)

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0 であるとすれば、 U(x,y)については線積分で

 U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}...続きを読む

Aベストアンサー

> U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
>      -∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}
この書き方を見る限り、間違っているのはおそらくこの部分ですね。

積分経路のとり方は色々ありますが、
(0,0)→(x,0)→(x,y)
という積分経路を考えるのであれば、

 U(x,y) = -∫[(0,0)→(x,0)] {-ax(x^2 + y^2) dx}
      -∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}
     = -∫[(0,0)→(x,0)] {-ax^3 dx}
      -∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}

のような感じになります。

Q位置エネルギー U

運動エネルギー(kinetic energy)はKと表されています。
位置エネルギー(potential energy)はどうしてUなのですか?
本屋で物理の参考書等を何冊か立ち読みしたのですが、
そのうちのいくつかには、位置エネルギー(ポテンシャルエネルギーとも表す)
という記述もありました。
ではUはどこから現れたのですか?
教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 
こういう答えが答えになるのかどうか知りませんが、私見では、Uは形がVと似ており、また、特に、この文字には、他に重要な用例がないからではないかと思います。あるページでは「電気ポテンシャル・エネルギーをU」、「電気ポテンシャルをV」で示していました。

「科学者に尋ねる」という質問のページがあり(以下の参考URL)、そこで、16歳の学生が、何故、ポテンシャル・エネルギーを「U」で表すのか、クラスで疑問になっていると述べています。

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学生は、ポテンシャル・エネルギーだから、「P」が相応しいと考えたようですが、彼の質問では、「P」は電力で、「p」は運動量に使われている。そこで、「U」を使ったのだと思うが、何語での省略なのか、また、何の省略が「U」なのか、と尋ねています。

回答者は、Vince Calder という名の多分「科学者」なのでしょうが、簡単に要約すると、次のように述べています:

しばしば物理学や化学や数学や、その他の科学分野で使われている記号には、「固有の意味」がないものがたくさんある。

例えば、「p」や「P」は、圧力でも使われ、燐の元素記号でもある。「T」は力学的エネルギーに使われ、「U」の代わりに「V」がポテンシャル・エネルギーに使われる。

科学論文などにおいては、著者が、その記号の定義を示すものである。また文脈からも、明らかであることが多い。

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Uは、ドイツ語の何かの語の略ではないかと思ったのですが、よく分かりません。略語辞典では、Uは、intrinsic energy つまり「固有エネルギー・内部エネルギー」だと出てきますが、物理などの記号には、intrinsic meaning は「ない」と上の回答は述べています。

この「回答」は、「ニュートン」の回答で、下のURLにあるよう、gov ですから、政府機関です。Uに何か特別な意味があるなら、こういう説もある、というのも出てきそうですが、それもないので、固有の意味はないのだということになります。

ただ、Vと似ているのでかも知れません(VとUは、古典ラテン語では同じ文字です。電圧のVに合わせて、Uにしたのかも知れません。Wはエネルギーの記号です)。また、開いた記号が、あまりなかったので、Uにしたのかも知れません。

>Energy Related Variables
>http://newton.dep.anl.gov/askasci/phy00/phy00458.htm
 

 
こういう答えが答えになるのかどうか知りませんが、私見では、Uは形がVと似ており、また、特に、この文字には、他に重要な用例がないからではないかと思います。あるページでは「電気ポテンシャル・エネルギーをU」、「電気ポテンシャルをV」で示していました。

「科学者に尋ねる」という質問のページがあり(以下の参考URL)、そこで、16歳の学生が、何故、ポテンシャル・エネルギーを「U」で表すのか、クラスで疑問になっていると述べています。

-----------------------------------------...続きを読む


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