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例えばf:N→Qで
Qが可算無限集合であることを証明するのに
全単射であることを証明すれば良いのは分かるのですが、まず
そのことを証明するのにfを何か関数で定義して全単射であることを
示せば良いのですか?
それとも番号さえつけられれば、fの関数はわざわざ定義しなくて良いのですか?

後この可算無限集合で可付番と言うのが出てきますが、あれって番号をつけていくことが出来るみたいなことらしいですが、あれは一体どういうことなのでしょうか?

よく分かりません。

教えてください。よろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

  • 今するべきことは、NとQが対等(等濃)であることを証明すること。とおっしゃいましたが

    ではこの等濃を証明するにはどうしたら良いのでしょうか?

    もうずっと考えているのですが、よくわからなくて解決しません。

    なるべく詳しくお願い致します。

    後、このような濃度の問題を解くときのポイントというかコツというか、そういうのありますでしょうか?

    よろしくお願い致します。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/07/10 12:11

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A 回答 (5件)

可算無限集合の定義を知らないことが,その使い方から分かります.


集合Xが可算無限集合であるとは,NからXへの全単射が存在することです.
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「なるべく詳しくお願い致します」とは, 模範解答をここに書け, という意味でしょうか.


それだったら, お断りします.
大学初年度の6月以降は, 4月や5月とは違うのです.
大学数学が高校までの数学といちばん異なる点は, 分からなければ他人に教えてもらう, という考えが通用しないことです.
分かるようになるまで, 自分で考え抜くのが基本で, せいぜい「ヒントをお願いします」程度にとどめるのが常識です.
「もうずっと考えている」のであれば, 質問だけでなく, 考えた内容を併記してください.
今回だけ, 少し詳しすぎるヒントを出します.

1. N と N × N が等濃であることを示す.
2. Q+ と Q が等濃であることを示す.
3. 1 を利用して, N と Q+ が等濃であることを示す.
4. 2 と 3 から, なにが結論されるかを考える.

それでは, 健闘を祈ります.
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答え:本を読む。



たとえば、
位相解析の基礎 (吉田、河田、岩村  著)岩波書店 11ページ
などなど

君に、日本の科学の将来がかかっている。頑張って勉強してください。
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主語の省略を筆頭に, 不適切な表現が目立ちます.



N から Q への写像 f がすでに定義されているなら, f が全単射か否かは, もう決まっています.
Q が可算無限集合だからといって, f が全単射とは限りません.
一方, f がまだ定義されていないなら, f が全単射であることを証明できるはずがありません.
Map(N, Q) が全単射な元を持つことは, Map(N, Q) の任意の元が全単射であることを保証しません.
実際, Map(N, Q) の任意の元が全単射であるわけがない.

貴方がするべきことは, N と Q が対等(等濃)であることを証明することです.
N から Q への全単射を具体的に作ることができれば, いちばん気分爽快でしょうが, おそらく挫折するでしょう.
この回答への補足あり
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fの関数:納得させる為に関数表現するだけで、自然数と1:1対応が付くことを示せばok。


自然数と1:1対応が付く、とは番号を漏れなく重複なく付ける事だから。

可付番:自然数と1:1対応が付く、と言う意味。1:1対応すれば順に1,2,3、・・・と番号が付けられる。
可付番=番号付与が可能。 言葉の意味です。
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Q可算であることの証明

可算についてなのですが、次の2つがどうしても証明出来ません。

1.可算集合の無限部分集合は可算である
2.有理数a,bを端点とする開区間(a,b)全体の集合は可算である

一応濃度、可算集合については一通り勉強したのですが…。
言っている事はなんとなくわかるのですが、自分でいざ問題を解いてみる(証明してみる)と何をどう書いてよいのやらまったくのお手上げです。
きちんと理解できていないのが原因だと思うのですが、いろいろな本を読み漁ってもこの”集合論”という分野、いまいちピンときません。
どうか回答のほどよろしくお願いします。

Aベストアンサー

No.1です。
補足の2.ですが:

>なぜ和をとるのでしょう?
要するに、何かのルール(何でもいい)を決めて、集合の要素の全部を一列に並べて番号を付けることができることを示せば、可算であることが証明できます。
和をとるのはその方法の一つということで、他の方法でも可能ならかまわないのです(和をとるのがいちばん簡単だと思いますが)。

>開区間全体として可算となりえるのでしょうか
2つの有理数a,b(a<b)の組に、有理数を端点とする開区間が1対1に対応しているということであって、開区間の中身は関係ありません。

Q有理数が可算無限であることの証明

はじめまして。

有理数が可算無限であることを証明したいのですが、どのように証明できますでしょうか??

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

任意の正の整数nを素因数分解しますと、
p1^i1・p2^i2・ ・・・・・・ ・pk^ik
となります。ここで、p1,p2,・・・,pkはそれぞれ素数です。
ここで、
j1 = i1/2(i1が偶数のとき)
j1 = -(i1+1)/2(i1が奇数のとき)
とします。
j2,j3, ・・・ ,jk
についても上と同様とします。

すると、
p1^j1・p2^j2・ ・・・・・・ ・pk^jk
は、有理数です(mとする)。

このような関係が成立するとき、任意の正整数nは唯一の有理数mに対応します。また、任意の有理数mは唯一の正整数nに対応します。

よって、有理数は正整数に1対1に対応しますので、可算無限です。

これで証明になっているのではないでしょうか?

Q可算無限集合と非可算無限集合の違いが分かりません。

例えば、こういう問題のときそれぞれ可算無限集合と非可算無限集合のうちどっちですか?
(1)0≦x≦1を満たす実数x
(2)任意の自然数N
(3)任意の実数R
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

本来の質問の趣意からは的外れなのを承知の上で,あえて,あさっての方向からツッコミを入れます.

たとえば,(1)について.
「0≦x≦1を満たす実数x」は,可算無限集合でも非可算無限集合でもありません.
そもそも,それは「集合」ですらありません.
「0≦x≦1を満たす実数x」とは何かと問われれば,たとえば 1/2 は答えのひとつです.でも,1/2 は集合ではありません.同様に, 1/3 も集合ではありませんし, π/4 も集合ではありません.

(専門家の方々へ:「公理的集合論では自然数も整数も有理数も実数も集合をもって構成するのだから,個々の実数だって集合だ」というツッコミはなしでお願いします)

(2)の「任意の自然数N」というのも,意味がはっきりしません.多くの人は(少なくとも私は),単に(現在の文脈から離れて)「任意の自然数N」と書いてあるのを読んだら,「N は変数記号で, 1 とか 5 とかの自然数を N に代入しうる」,つまり「N=5 と仮定する,などと宣言して議論を続けることが可能」と解釈するでしょう.そういう意味で「任意の自然数N」というのなら,それは集合ではありません.(3)の「任意の実数R」も同様で,この書き方だと,多くの人は(少なくとも私は)R は実数を代入可能な変数記号と解釈するでしょう.

質問の文脈をわかっている人には,上述の私の見解は「意地悪」というか「屁理屈」と受け取られるかもしれません.しかし,「数学的対象を,誤解が生じないように正確に言語で記述する方法を身につける」ことも,大学における数学授業の目標のひとつとすべきだと,私は考えています.集合や論理を内容とする授業ならなおさらです.こういう「屁理屈」のツッコミを受ける余地のない数学的内容の記述方法を,大学レベルの数学を学ぶ学生は身につけるべきです.

(1)(2)(3)のような言い方で暗に「~をみたす対象全体の集合」を意味することは,数学者の間でもときどき使われる言葉遣いではあります.しかし,それはあくまで,文脈を共有できている専門家同士でのみ通用する,用語の濫用と理解すべきです.少なくとも,大学教員が授業の中でそのような言葉遣いをすることは厳に慎むべきと考えます.

本来の質問の趣意からは的外れなのを承知の上で,あえて,あさっての方向からツッコミを入れます.

たとえば,(1)について.
「0≦x≦1を満たす実数x」は,可算無限集合でも非可算無限集合でもありません.
そもそも,それは「集合」ですらありません.
「0≦x≦1を満たす実数x」とは何かと問われれば,たとえば 1/2 は答えのひとつです.でも,1/2 は集合ではありません.同様に, 1/3 も集合ではありませんし, π/4 も集合ではありません.

(専門家の方々へ:「公理的集合論では自然数も整数も有理数も実数も...続きを読む

Qアレフ0より小さな濃度をもつ無限集合

 
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Aベストアンサー

> 可算選択公理(英語版)(選択公理の弱いバージョン)を仮定すれば、\aleph_0 は他のどんな無限基数よりも小さい。
# http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0

上記から少なくとも可算選択公理が成り立たない体系を想定しないと、質問の無限集合は存在しません。

アレフ0より小さい無限濃度の無限集合が存在するなら自然数全体Nの中への単射が存在するわけです。
その像が最大値を持つと有限になるので、その像は最大値を持たない。
自然数の部分集合は最小値を持つので、小さい方から順に対応付けすると自然数から仮定した無限集合の中への単射が作れそうな気がしますが、可算選択公理がないからこれが関数にならないのかな。
何にせよ、アレフ0と比較不可能というくらいならともかく、より小さな無限濃度の存在はかなり不自然ということは認識頂けると思います。


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